Woran erkennt man, dass eine Funktion umkehrbar ist oder nicht?

Question

Hier sieht man nur Abbildungen wie erkenne ich es?

Aufgabe: Entscheiden Sie, ob die funktionen, deren Graphen abgebildet sind, umkehrbar sind.

Answer 1

Eine Funktion ist nicht umkehrbar (d.h. die Umkehrrelation ist keine Funktion), wenn sie waagerechte Sekanten mit mehr als einem Schnittpunkt besitzt. In den ersten beiden Schaubildern ist dies offensichtlich so, also sind die dargestellten Funktionen sicher nicht umkehrbar. In den letzten beiden Schaubildern ist dies nicht so, dies kann aber am gewählten Ausschnitt liegen, wir können also keine Aussage zur Umkehrbarkeit machen.

Answer 2

Bei der Funktion gehst du über einen x-Wert bis zur Kurve und hast dann
einen Funktionswert oder y-Wert.

Willst du die Kurve als Umkehrfunktion nutzen gehst du über eine y-Wert
in die Kurve und bekommst dann den dazugehörenden x-Wert heraus.

Gibt es wie bei Kurve 1.) und 2.) für bestimmte y-Werte 2- oder mehrere x-Werte
ist die Funktion nicht eindeutig und damit nicht umkehrbar.

mfg Georg

Comments

Warum ist eine Funktion nicht eindeutig, wenn es zu einem y-Wert zwei x-Werte gibt?

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Eine Funktion ist dadurch definiert das zu 1 x-Wert 1 y-Wert gehört.
( x | f ( x ) ).

f ( x ) = x^2
f ( 2 ) = 4

Die Umkehrfunktion lautet
u ( x ) = ± √ x
u ( 4 ) = ± √ 4

u ( 4 ) = + 2
u ( 4 ) = - 2

~plot~ x^2 ; 4 ; [[ -3 | 3 | 0 | 5 ]]  ~plot~

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Gilt denn für die Funktion  f(x) = x²  nicht, dass zu jedem x-Wert ein y-Wert gehört?

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Doch, das gilt natürlich für f(x) = x²

Er meinte vielmehr dass bei einer umkehrbaren Funktion jedes y von exakt nur einem x erzeugt wird. Und das ist bei dieser Funktion nicht der Fall, da man wie beschrieben, aus y = 4 nicht genau folgern kann ob die Abbildung von x = 2 oder x = -2 erfolgt ist. Von daher ist die Funktion nicht eindeutig umkehrbar.

Um so etwas zu erkennen, musst du im Graphen lediglich prüfen ob y Werte nur einmal oder mehrmals getroffen werden.

Bei Graph 1 und 2 sieht man auf der ersten Blick dass einige y-Werte mehrfach vorkommen, und deshalb die Funktion nicht umkehrbar sein kann.
Bei Nr. 3 und 4 handelt es sich um monoton steigende Funktionen, bei denen jedes x auf ein eindeutiges y abgebildet wird. Natürlich kann man dann auch von jedem y wieder zurück auf das ursprüngliche x, weshalb die Funktionen umkehrbar sind.

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So, zum letzten mal ein Erklärungsversuch.
Gilt denn für die Funktion  f(x) = x²  nicht, dass zu jedem x-Wert ein y-Wert gehört?

Dies ist ja auch die Funktion.

Die Umkehrfunktion ist
u ( x ) = ± √ x
u ( 4 ) = ± √ 4

u ( 4 ) = + 2
u ( 4 ) = - 2

Hier gibt es zu jedem x   2  mögliche Funktionswerte.

Hier für dich diese Funktion als Grafik.
Also Augen auf.

~plot~ sqrt(x); {4 | 0 } ; {4 | 2 } ; {4 | -2 } ;- sqrt(x); [[ 0 | 5 | -3 | 3 ]] ~plot~

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Die Umkehrfunktion ist u ( x ) = ± √ x

\(u\) ist keine Funktion und folglich auch keine Umkehrfunktion.

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An den Kommentator zuvor :
Ach. Wer hätte das gedacht..
Da erzählst du ja umwerfend Neues.

Ich schreibe meine Antworten für den Fragesteller und versuche
auf dessen Probleme mit der Aufgabe einzugehen.

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Leider bleibt's beim Versuch.

Answer 3

ganz einfach beschrieben:

eine Funktion ist genau dann umkehrbar, wenn

jede Parallele zur x-Achse den Graph höchstens einmal schneidet.

Gruß Wolfgang