Unterschied zwischen Wendepunkt und Sattelpunkt

Question

morgen schreiben wir eine Matheklausur über Ableitungsfunktionen. Ich habe eigentlich alles verstanden, nur ein Problem habe ich noch. In der ersten Ableitungsfunktion sind die Nullstellen ja an, wo ein Punkt vorliegt mit der Steigung m=0. Bei Vorzeichenwechseln sind es ja entweder Hoch - bzw. Tiefpunkte. Eine Frage von mir: Gibt es pro Funktion höchstens einen Tiefpunkt oder könnte es auch mehrere geben? Wenn es keinen Vorzeichenwechsel gibt und die Steigung m trotzdem = 0 ist, liegt ein Sattelpunkt vor. In der zweiten Ableitungsfunktion kann man über die Nullstellen ja herausfinden, wo sich die Wendepunkte, also die Stellen maximaler und minimaler Steigung befinden. Allerdings hat der Sattelpunkt in der ersten Ableitungsfunktion ja wieder eine Steigung von m=0. Wie kann man den Sattelpunkt in der zweiten Ableitungsfunktion also von den Wendepunkten unterscheiden?

Meine dritte Frage: Wir haben im Unterricht mal über Wendepunkte und Wendestellen gesprochen? Worin liegt der Unterschied ? Und: Wir hatten auch mal irgendwelche Begriffe mit Extrem- davor ? Welche Begriffe könnten dies gewesen sein?

für die Hilfe!

Answer 1

Gibt es pro Funktion höchstens einen Tiefpunkt oder könnte es auch mehrere geben?

Natürlich kann eine Funktion mehr als einen Tiefpunkt besitzen, sogar unendlich viele (siehe Sinus-Funktion zum Beispiel.

 In der zweiten Ableitungsfunktion kann man über die Nullstellen ja herausfinden, wo sich die Wendepunkte, also die Stellen maximaler und minimaler Steigung befinden

An den Wendepunkten ist die Steigung lokal minimal oder maximal, es kann trotzdem sein, dass die Funktion an anderen Stellen stärker/schwächer ansteigt bzw. fällt.

Wie kann man den Sattelpunkt in der zweiten Ableitungsfunktion also von den Wendepunkten unterscheiden?

Jeder Sattelpunkt ist auch ein Wendepunkt, allerdings wechselt sich bei diesem die Richtung der Krümmung nicht.

Wir haben im Unterricht mal über Wendepunkte und Wendestellen gesprochen? 

Die Wendestelle ist der x-Wert des Wendepunktes.

Und: Wir hatten auch mal irgendwelche Begriffe mit Extrem- davor ? Welche Begriffe könnten dies gewesen sein?

Extremwerte, Extrempunkte, Extremstellen.

Gruß

Comments

Vielen Dank :).

Was sind denn Extremwerte , - Punkte und -Stellen?

Und wie errechnet man den Punkt maximaler und minimaler Steigung ?

LG

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Extrempunkte sind Hoch- und Tiefpunkte. -Stellen sind ihre x-Koordinaten und -Werte ihre y-Koordinaten.

Punkt maximaler und minimaler Steigung: Punkt an dem die 1. Ableitung maximal oder minimal ist.

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Ich habe dies so verstanden:

Über den Hoch- und Tiefpunkt der zweiten Ableitung errechnet man die maximale bzw. minimale Steigung der Ausgangsfunktion. Ist dies so richtig?

Und was meinst du in deinem Fall mit maximal und minimal?

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Nein das ist nicht korrekt. Die Nullstellen der 2. Ableitung weisen auf mögliche Hoch- und Tiefpunkt der 1. Ableitung hin. Das müssen aber nicht die größten/kleinsten Werte der 1. Ableitung (und somit der möglichen Steigung) sein.

Maximal bedeutet "der größt mögliche Wert". Dabei spielt es eine Rolle auf welchem Bereich (Intervall etc.) man das Ganze betrachtet.

Beispiel:

Die Funktion  ~plot~x^3+2x^2~plot~

hat zwar Hoch- und Tiefpunkt aber es gibt ja offensichtlich Punkte, die über und unter diesen Punkten liegen (deswegen heißen Hochpunkte zum Beispiel nur lokale Maxima).