Beweis von Linksinverse zu f

Question

Hallo ich habe folgende Aufgabenstellung gegeben:  Seien X,Y Mengen und f : X → Y eine Abbildung. Zeigen Sie, f ist genau dann injektiv, wenn es eine Linksinverse zu f gibt.

Ich habe bei der Richtung  "==>" Schwierigkeiten .Ich kann die Definition von f injektiv  benutzen, x1,x2 ∈ X. Dann gilt: f(x1) = fx2) ⇒ x1 = x2

Mal angenommen X und y sind nicht leer und es gilt f ist injektiv , wie kommt man auf die Folgerung das es eine Linksinverse gibt?

für "<==" hab ich mir überlegt:

Sei f eine Abbildung von X nach Y. f hat eine Linksinverse bedeuted es existiert eine Abbildung g :Y-->X  und die Komposition gof=idx.

Sei f(x1)=f(x2) ==> ( unter anwendung g) g(f(x1)=g(f(x2))==> ( Definition g) x1=x2 ==> f injektiv

Answer 1

x0 element von X (X ist nicht leer) und definieren eine Abbildung g: Y->X

für y element von Y \ f(X), setzen wir g(y) = x0 für y element von f(X)

gibt es ein x element von X mit f(x)=y

Da f injektiv ist --> ist das x definitiv bestimmt, welches wir g(y) nennen.

Linksinverse => x element von X, dann ist f(x) element von f(X), nach Definition folgt

g(f(x))=x. Daher gilt auch :

(g ο f) (x) = X

für alle x element aus X, also (g ο f) = id x

qed. :D