V = Im(f) (+) Ker(f)

Question

bräuchte HIlfe :

a) Sei f : V →V eine lineare Abbildung mit f ° f = f.   Zeigen Sie, dass
V = Im(f) ⊕ Ker(f) gilt.

b) Sei  umgekehrt V = U ⊕ W eine direkte Summenzerlegung in Untervektorräume.
Zeigen Sie, dass es genau einen Endomorphismus f : V → V gibt, sodass
f ° f = f,   Im(f) = U und Ker(f) = W gelten.

Danke

Answer 1

a) Sei f : V →V eine lineare Abbildung mit f ° f = f.   Zeigen Sie, dass
V = Im(f) ⊕ Ker(f) gilt.

Sei v aus V und f(v) = w   Also f(w) = f(f(v)) = f(v)= w .

Dann ist  u = w - v aus Ker(f); denn
f(u) = f(w - v ) = f(w) - f(v) = w  -  f(v) = w - w = 0.

Also lässt sich jedes v aus V als Summe    v = w + u  mit

w aus Im(f)   und  u aus Ker(f) schreiben, also V = Im(f) + Ker(f)

Und wegen dim( Im(f)) +dim( Ker(f)) = dim(V) ist die Summe direkt.