Lineares Gleichungssystem lösen (Gauß)

Question

Man betrachte das folgende lineare Gleichungssystem

x-2y+αz=2

x+y+z=2

-2x-3y-z=β

in den Unbekannten x,y und z ∈ℝ.

(a) Für welche Parameter α,β ∈ℝ besitzt das Gleichungssystem (i) genau eine Lösung, (ii) keine Lösung, (iii) unendlich viele Lösungen.

(b) Berechnen Sie die allgemeine Lösung für den Fall α=4 und β=-4

Mein Ansatz für (a) (bis jetzt):

Das Gleichungssystem als erweiterte Matrix darstellen. Das wäre:

1  -2  α  |2

1  1  1   |2

-2  -3  -1 |β

Ab hier weiß ich nicht weiter... Wie geht es weiter? Was wäre der nächste Schritt, um zu zeigen, welche Parameter für α und β, die folgenden Bedingungen erfüllen? Sitze schon ziemlich lange an der Aufgabe, aber habe keinen Durchblick.

Zu Aufgabenteil (b):

Da hat man jetzt die Parameter für α und β gegeben. Aber wie berechne ich die allgemeine Lösung hierfür?

Ich hoffe, dass ihr mir helfen könnt. :)

Answer 1

[1, -2, a, 2]
[1, 1, 1, 2]
[-2, -3, -1, b]

II - I ; III + 2*I

[1, -2, a, 2]
[0, 3, 1 - a, 0]
[0, -7, 2·a - 1, b + 4]

3*III + 7*II

[1, -2, a, 2]
[0, 3, 1 - a, 0]
[0, 0, 4 - a, 3·(b + 4)]

z = 3·(b + 4) / (4 - a)

Für a <> 4 genau eine Lösung

Für a = 4 und b = -4 unendlich viele Lösungen

für a = 4 und b <> -4 keine Lösung

z = z (beliebig wählbar)

3·y + (1 - 4)·z = 0 --> y = z

x - 2·z + 4·z = 2 --> x = 2 - 2·z

Comments

Vielen Dank für die Antwort! :) hab da nur noch eine Frage was ist mit  "<>" gemeint?

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Das ist eine andere Schreibweise für das Ungleichheitszeichen. Die wird oft genommen wnen das richtige Ungleichheitszeichen nicht im Zeichensatz ist.