Springbrunnen textaufgabe

Question

Ich übe gerade für eine mathearbeit und komme bei dieser textaufgabe einfach nicht weiter könntet ihr mir bitte den rechen weg verständlich darlegen? 
Aus einem Springbrunnen treten in parallelförmige Bögen drei Wasserstrahlen aus. A) Bestimme die Höhe der einzelnen Wasserbögen  (Einheit in m) F (x)=-1/2x^2+1,6x+0,7  G (x)=-1/2x^2+1,2x+0,7  H (x)=-1/2x^2+0,8x+0,7  [Muss man da die Scheitelpunktform ausrechnen? ) B)Zeiche die Parabeln 
C)in welcher Entfernung zur Öffnung treffen die Wasserstrahlen auf den Boden ?  [Muss man da die nullstellen ausrechnen ]

Answer 1

Ja Scheitelpunkte und Nullstellen sind hier zu berechnen

F(x) = - 0.5·x^2 + 1.6·x + 0.7

F(x) = 0 --> x = 3.589974874

F(1.6) = 1.98

Hier noch Skizzen der Funktionen

Comments

Muss man bei a den scheitelpunktform  berechnen ja oder nicht ?:/

F(x) = - 0.5·x² + 1.6·x + 0.7

F(x) = 0 --> x = 3.589974874

F(1.6) = 1.98

Ich verstehe diesen Weg nicht so ganz

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Ja man muss den Scheitelpunkt berechnen. Das geht auf 2 Arten. Die erste ist die Scheitelpunktform. Die zweite ist die Möglichkeit, den Mittelpunkt zwischen den beiden Nullstellen zu bestimmen und dann den Funktionswert an dieser Stelle zu berechnen. In diesem Fall ist das 1,6. Die Berechnung dieses Mittelpunktes hat der Coach glaube ich nicht aufgeschrieben, sondern nur das Ergebnis genannt. 

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Und wie funktioniert es bei der scheitelpunktform?  Ich habe da (x-1,6)^2-3,96 raus aber da kam ja nicht 1,98 raus ? Wie kommt man den drauf ?

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Vermutlich ist dann deine Scheitelpunktform verkehrt

- 0.5·x² + 1.6·x + 0.7

= - 0.5·(x² - 3.2·x) + 0.7

= - 0.5·(x² - 3.2·x + 1.6^2 - 1.6^2) + 0.7

= - 0.5·(x² - 3.2·x + 1.6^2) + 0.7 + 0.5·1.6^2

= - 0.5·(x - 1.6)² + 1.98

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Einfacher ist es aber wenn man die x-Koordinate des Scheitelpunktes bestimmt. Den hat man durch die Nullstellenformel ja eh schon berechnet. Dann kann man die x-Koordinate auch in die Funktionsgleichung einsetzen. Das ist der schnellste Weg.

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Stichwort quadratische Ergänzung

F (x)=-1/2x²+1,6x+0,7

-1/2(x^2-3,2x-1,4)

-1/2(x^2-3,2x+2,56-2,56-1,4)

-1/2(x^2-3,2x+2,56-3,96)

-1/2(x^2-3,2x+2,56)+1,98

-1/2(x-1,6)^2+1,98

Soweit klar? Du musst das mit Hilfe der zweiten binomischen Formel überführen in die Form

a (x-x_S)^2 + y_S

Da kannst du dann den Scheitelpunkt ablesen.

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Achso man nimmt immer das hinterste Ergebnis vom scheitelpunkt (c)

Und wie funktioniert das mit dem skizzieren ?:)

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Das mit dem Scheitelpunkt (c) raffe ich nicht so ganz.

Was verstehst du nicht am Skizzieren? Wenn man eine Funktion zeichnen soll, macht man eine Wertetabelle und trägt die Werte dann in ein Koordinatensystem ein.

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G(x) = - 0.5·x^2 + 1.2·x + 0.7

Nullstelle G(x) = 0

- 0.5·x^2 + 1.2·x + 0.7 = 0 

x = - b/(2·a) ± √(b^2 - 4·a·c)/(2·a)

x = 6/5 ± √71/5 --> x = 2.885 (Die negative Lösung interessiert hier nicht)

Nun sind die 6/5 aber auch gleichzeitig natürlich schon die x-Koordinate des Scheitelpunktes.

Sx = 6/5 = 1.2

G(1.2) = 1.42 --> S(1.2 | 1.42)

G(x) = - 0.5·(x- 1.2)^2 + 1.42