a) Stell dir vor X =
x -y
y x und Y =
u -v
v u
Berechne X+Y und X*Y und zeige:
Beide sind wieder vom Typ
a -b
b a bei X+Y ist z.B. a = x+u und b = y+v
b) Körperaxiome nachweisen
Die 1 des Körpers ist
1 0
0 1 und das Inverse von
a -b
b a ist
a / ( a^2 +b^2) -b/ ( a^2 +b^2)
b/ ( a^2 +b^2) a// ( a^2 +b^2)
c) injektiv. Betrachte X und Y wie in a)
wenn φ(X) = φ(Y) dann ist x+iy = u+iv
also wegen der Eindeutigkeit dieser Darstellung in C ist
x=u und y=v und damit auch X = Y .
surjektiv: Sei z aus C, also z = a+bi dann ist φ(M) = z
wenn man M wählt als
a -b
b a.
Und die beiden Gleichungen rechnest du einfach nach mit X und Y so wie in a) betrachtet.
