Aufgabe:
a) Zeigen Sie, dass die Menge C = {\( \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \) : a, b ∈ R} ⊆ R2×2 zusammen mit Matrixmultiplikation und -addition ein Körper ist.
b) Man sagt, dass zwei Körper K1,K2 zueinander isomorph sind, wenn es eine bijektive Abbildung f : K1 → K2 mit f(x + y) = f(x) + f(y) und f(xy) = f(x)f(y) (x, y ∈ K1) gibt. Zeigen Sie, dass der Körper C aus Teil a) isomorph zu C (hier sind die komplexen Zahlen gemeint) ist.
c) Zeigen Sie, dass C aus Teil a) algebraisch abgeschlossen ist.
Problem/Ansatz:
a) habe ich schon.
Soll ich bei b) einfach ein Beispiel für eine konkrete Funktion angeben? Oder muss ich da irgendwas beweisen?
Und bei c) weiß ich nicht, wie ich das beweisen soll. Wie finde ich bei einer Matrix die irreversiblen Teiler? Muss ich die überhaupt finden?