Isomorphismus und Algebraischer Abschluss

Question

Aufgabe:

a) Zeigen Sie, dass die Menge C = {\( \begin{pmatrix} a & b \\ -b & a \end{pmatrix} \) : a, b ∈ R} ⊆ R^2×2 zusammen mit Matrixmultiplikation und -addition ein Körper ist.

b) Man sagt, dass zwei Körper K₁,K₂ zueinander isomorph sind, wenn es eine bijektive Abbildung f : K₁ → K₂ mit f(x + y) = f(x) + f(y) und f(xy) = f(x)f(y) (x, y ∈ K₁) gibt. Zeigen Sie, dass der Körper C aus Teil a) isomorph zu C (hier sind die komplexen Zahlen gemeint) ist.

c) Zeigen Sie, dass C aus Teil a) algebraisch abgeschlossen ist.

Problem/Ansatz:

a) habe ich schon.

Soll ich bei b) einfach ein Beispiel für eine konkrete Funktion angeben? Oder muss ich da irgendwas beweisen?

Und bei c) weiß ich nicht, wie ich das beweisen soll. Wie finde ich bei einer Matrix die irreversiblen Teiler? Muss ich die überhaupt finden?

Answer 1

Oder muss ich da irgendwas beweisen?

Ja, du musst beweisen, dass es eine bijektive Abbildung f : C → ℂ gibt, so dass f(x + y) = f(x) + f(y) und f(xy) = f(x)f(y) für alle x, y ∈ C ist.

Das kannst du machen indem du eine bijektive Abbildung f : C → ℂ angibst, so dass f(x + y) = f(x) + f(y) und f(xy) = f(x)f(y) für alle x, y ∈ C ist.

Natürlich solltest du in deinem Beweis darauf eingehen, warum dein Kandidat für f bijektiv ist und warum f(x + y) = f(x) + f(y) und f(xy) = f(x)f(y) für alle x, y ∈ C ist.

Zeigen Sie, dass C aus Teil a) algebraisch abgeschlossen ist.

Sei \(\sum_{i=0}^na_iX^i\in C[X]\). Betrachte das Polynom \(\sum_{i=0}^nf(a_i)X^i\in \mathbb{C}[X]\) und argumentiere mit der algebraischen Abgeschlosssenheit von \(\mathbb{C}\).

Comments

Danke! b) habe ich jetzt verstanden.

Warum kann ich bei c) mit den komplexen Zahlen argumentieren? Die Menge C aus Teil a) gehört doch zu den Natürlichen Zahlen

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Warum kann ich bei c) mit den komplexen Zahlen argumentieren?

Weil \(\mathbb{C}\) algebraisch abgeschlossen und isomorph zu \(C\) ist.

Sei \(p = \sum_{i=0}^na_iX^i\in C[X]\).

Sei \(q = \sum_{i=0}^nf(a_i)X^i\in \mathbb{C}[X]\).

Sei \(x\in \mathbb{C}\) Nullstelle von \(q\).

Begründe warum \(f^{-1}(x)\) Nullstelle von \(p\) ist.

Die Menge C aus Teil a) gehört doch zu den Natürlichen Zahlen

"gehört zu" ist keine mir bekannte Beziehung zwischen Mengen.

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Ok, dann hätte ich jetzt gesagt, es ist auch eine Nullstelle von p, weil die Abbildung bijektiv ist, weil die beiden Körper isomorph zueinander sind, und deshalb nur 0 im Kern ist, stimmt das?

Und weil das der Fall ist, ist es algebraisch abgeschlossen, weil jedes Polynom aus den komplexen Zahlen eine Nullstelle in C hat, ist das richtig? Das kommt mir irgendwie noch falsch vor