Funktionenschar: ft(x) = -1/4x^4+1/2t^2*x^2+1

Question

Gegeben sind die Funktionenschar ft ( t ∈ ℝ ) mit ft(x) = -1/4x^4+1/2t^2*x^2+1 und die Gerade g: y = -5/4x+5/2.

a) Bestimmen Sie die Extremstellen von ft in Abghängigkeit von t.

b) Für welche Werte von t liegt der Hochpunkt des Graphen von ft auf der Geraden g ? 

c) Für welchen Wert von t hat der Graph von ft zwei zueinander orthogonale Wendetangenten ?

zu a ) 

f't(x) = x^3 + 2tx

f''t(x) = 3x^2 +2t

f`t(x) = 0

x^3+2tx = 0

x (x^2+2t ) = 0 -> x1 = 0

x^2+2t = 0 |-2|log10

-> Minunswurzel ?!?!?! x = -2t, irgendwo muss doch dann bei mir ein Fehler vorliegen ?

zu b)

und c) die kann ich ja gar nicht erst lösen wenn ich die a) nicht habe :D

Comments

so habe jetzt nochmal die a) hier, ich denke so ist sie richtig: 

f'(x) = 0 

-x^3 + t^2 * x = 0

-x ( x^2 -t ^2 ) = 0 -> x1= 0

x^2-t^2 = 0 - > x2 = -t | x3 = t

f''(-t) < 0 -> HP (-t | t^4+4/4 )

f''(t) < 0 -> HP (t|t^4+4/4 )

so das ist glaube ich richtig so oder? aber wie mache ich jetzt b) und c) ?

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An alle, Aufgabe ist gelöst ! Ihr braucht nicht mehr zu antworten !

Answer 1

zu a ) 

f't(x) =  - x³ + 2t^2 x     Fehler !

f''t(x) = - 3x² +2t^2

f`t(x) = 0

- x³+2t^2 x = 0

x (- x²+2t^2 ) = 0 -> x1 = 0  oder  x^2 = 2t

Also x=0 0der 

                x = -|t|*wurzel(2) oder x = |t|*wurzel(2)

Comments

Fehlerhinweis

ft(x) = -1/4x⁴+1/2t²*x²+1
f't(x) =  - x³ + 2 * t² x    

sondern

f ´( x ) = - x^3 +  t^2 * x

mfg Georg

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Ah ja, stimmt. Wird der Fragesteller einbauen.

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Also dann wäre die Lösung diese hier ? 

f't(x)= -x^3 + t^2*x

x(-x^2+t^2) = 0 -> x1 = 0

-x^2+t^2 = 0 | *(-1) | √

x = t 

Das kann doch eig. auch nicht richtig sein oder?

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Hier die Berechnung

 

Hier die Grafik für t = 1

-1/4x⁴+1/2t²*x²+1

~plot~ -1/4*x^4 + 1/2 * 1^2 * x^2 + 1 ~plot~

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Jo danke :) Sehr ausführliche Antwort.

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Klingt jetzt vielleicht blöd weil einfach aber was ergibt t in ft(x) eingesetzt ? Also ich weiß, dass H1(t|1/4t^4+1) rauskommt aber wie ich es auch einsetze ich komme nicht auf 1/4t^4+1.

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ft(x) = -1/4x⁴+1/2t²*x²+1

ft ( t)  = -1/4* t⁴+1/2 * t² * t² + 1
ft ( t)  = -1/4* t⁴+1/2 * t⁴  + 1
ft ( t)  =  1/4* t⁴ + 1

mfg Georg