bestimmen sie die zähldichte der bedingten Verteilung von X unter (Y=17)

Question

Bräuchte Hilfe :

Wir betrachten den zweistufigen Würfelexperiment mit einem fairen Würfel. Der Würfel wird zunächst einmal geworfen und X sei die Anzahl der gewürfelten Augen. Danach wird der Würfel X-mal geworfen und Y sei die Summe der geworfenen Augen in diesen X Würfen. Bestimmen Sie die Zähldichte der bedingten Verteilung von X unter {Y=17}, d.h. die Wahrscheinlichkeit

P(X=k|Y=17) für k=1,...,6

Comments

k=1 ist gar nicht möglich, da man mit einem Wurf ja keine 17 Würfeln kann.

Es beginnt also erst bei k=3.

---

Könntest du vielleicht einmal für k=3 die bedingte Wahrscheinlichkeit berechnen damit man dann weiter machen kann für die anderen werte die k annehmen kann weiß nur die Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit P(A|B)=P(AschnittB)/P(B) wüsste aber nicht wie ich das berechnen kann wäre sehr hilfreich wenn. Du das einmal für k=3 machen könntest

Answer 1

das wird so nicht gehen. Für den weiteren Verlauf und die Begründung der Formeln beachte, dass $X$ gleichverteilt ist.

Die Wahrscheinlichkeit für $Y=17$ ist die Summe:

$$P(Y=17) = \sum_{k=1}^6 P(Y=17|X=k)$$

Das bedeutet, bevor du die bedingten Wahrscheinlichkeiten berechnen kannst musst du zuerst die Wahrscheinlichkeiten für $k \in \{1, \dots , 6\}$

$$P(Y=17|X=k)$$

berechnen. Dies ist nach Aufgabenstellung die Wahrscheinlichkeit dafür, mit $k$ Würfen insgesamt eine Augensumme von $17$ zu würfeln.

Dann ist $P(X=k|Y=17) = \frac{P(Y=17|X=k)}{P(Y=17)}$.

Für $k=1$ oder $k=2$ ist ja $P(Y=17|X=k) = 0$.

Beispiel für $k=3$:

Eine Augensumme von 17 mit 3 Würfen zu würfeln geht nur, wenn 2 Würfe eine 6 und ein Wurf eine 5 ist. Also die Kombinationen (5,6,6), (6,5,6) und (6,6,5). Somit ist

$$P(Y=17|X=3) = \frac{3}{216}$$

Mit größerem $k$ wir es schwieriger die Möglichkeiten zu zählen, aber es sollte trotzdem machbar sein ;). Vor allem eine rekursive Methode für das Abzählen kann hier helfen den Überblick zu bewahren. Wenn gar nichts klappt sollte das hier eventuell noch von Interesse sein:

https://www.mathelounge.de/294290/wie-viele-moglichkeiten-gibt-es-ei…

Gruß

Comments

wie bist du auf die Lösung 3/216 gekommen??
könntst du dort den zwischenschritt zeigen? :)

---

Es gibt 216 mögliche Kombinationen beim 3-maligen Würfeln, wenn die Reihenfolge eine Rolle spielt....

---

ah stimmt, 6³ ist zu berechnen. habe ich nicht bedacht.

Bei 4 Würfeln wird das Herausfinden der Kombinationen etwas anstrengender :D

---

leiderkomme ich gar nicht weiter auch mit der Formel auf wolphram nicht wie rechnet man den alle möglichen Permutationen für k=4 aus das sind ja viele nur dich probieren denke ich nicht und die Formel ist echt komplitziert mit der gaussskammer und aufrunden hat jemand schon einen ansatz

---

Es wird abgerundet bei der Formel. Das komplizierte ist hier mehr die Herleitung als die Anwendung der Formel. Einen einfacheren  Weg sehe ich hier (noch) nicht, wie gesagt eine Alternative wäre ein rekursiver Vorgang dessen Berechnungen jedoch aufwendiger sind. Ich verstehe nicht warum du einen bestehenden Ansatz nicht verwendet möchtest.

---

Ich weiß nicht wie ich die Formel anwenden soll kannst du vielleicht k=4 einmal einsetzen  ich hab echt ein brett  vorm kopf

---

Ok alles klar habs verstanden einfach einsetzen viln dank