Antwort mit KI erzeugt
Bestimmen Sie unter Voraussetzung von Ereignis R die bedingten Wahrscheinlichkeiten von W, G und S
Um die bedingten Wahrscheinlichkeiten von \(W\), \(G\) und \(S\) unter der Voraussetzung, dass ein roter Stein \(R\) gezogen wurde, zu bestimmen, verwenden wir die Formel für bedingte Wahrscheinlichkeit:
\(
P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}
\)
Dabei ist \(P(A|B)\) die Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis \(A\) eintritt, gegeben dass Ereignis \(B\) eingetreten ist. \(P(A \cap B)\) ist die Wahrscheinlichkeit, dass sowohl Ereignis \(A\) als auch Ereignis \(B\) eintreten. \(P(B)\) ist die Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis \(B\) eintritt.
Zur Berechnung der Wahrscheinlichkeiten:
-
Wahrscheinlichkeit \(P(R)\), einen roten Stein zu ziehen:
Das Ereignis \(R\) (roter Stein gezogen) kann auf drei verschiedene Arten eintreten: Aus der weißen, grauen oder schwarzen Urne. Die Summe dieser einzelnen Wahrscheinlichkeiten gibt \(P(R)\):
\(
P(R) = P(R|W)P(W) + P(R|G)P(G) + P(R|S)P(S)
\)
wobei
- \(P(R|W) = \frac{6}{36}\), \(P(W) = \frac{1}{6}\),
- \(P(R|G) = \frac{18}{36}\), \(P(G) = \frac{2}{6}\),
- \(P(R|S) = \frac{30}{36}\), \(P(S) = \frac{3}{6}\).
Einsetzen der Werte liefert:
\(
P(R) = \left(\frac{6}{36} \times \frac{1}{6}\right) + \left(\frac{18}{36} \times \frac{2}{6}\right) + \left(\frac{30}{36} \times \frac{3}{6}\right)
\)
\(
P(R) = \frac{1}{36} \times \frac{1}{6} + \frac{1}{2} \times \frac{2}{6} + \frac{5}{6} \times \frac{3}{6}
\)
\(
P(R) = \frac{1}{36} + \frac{6}{36} + \frac{15}{36} = \frac{22}{36}
\)
-
Bedingte Wahrscheinlichkeiten \(P(W|R)\), \(P(G|R)\) und \(P(S|R)\):
Nun nutzen wir die Formel für bedingte Wahrscheinlichkeiten, um \(P(W|R)\), \(P(G|R)\) und \(P(S|R)\) zu berechnen.
1.
Für \(W\) gegeben \(R\):
\(
P(W|R) = \frac{P(R|W)P(W)}{P(R)} = \frac{\left(\frac{6}{36}\right) \left(\frac{1}{6}\right)}{\frac{22}{36}} = \frac{1}{22}
\)
2.
Für \(G\) gegeben \(R\):
\(
P(G|R) = \frac{P(R|G)P(G)}{P(R)} = \frac{\left(\frac{18}{36}\right) \left(\frac{2}{6}\right)}{\frac{22}{36}} = \frac{6}{22} = \frac{3}{11}
\)
3.
Für \(S\) gegeben \(R\):
\(
P(S|R) = \frac{P(R|S)P(S)}{P(R)} = \frac{\left(\frac{30}{36}\right) \left(\frac{3}{6}\right)}{\frac{22}{36}} = \frac{15}{22} = \frac{5}{7}
\)
Änderung der Anzahl der Steine in der schwarzen Urne für Unabhängigkeit zwischen \(G\) und \(R\)
Damit die Ereignisse \(G\) (Stein aus grauer Urne) und \(R\) (roter Stein) unabhängig voneinander werden, muss gelten:
\(
P(G \cap R) = P(G) \times P(R)
\)
Die Wahrscheinlichkeit \(P(G)\) beträgt \(P(G) = \frac{2}{6}\). Die Wahrscheinlichkeit \(P(R)\) haben wir bereits als \(\frac{22}{36}\) bestimmt, wobei diese sich ändert, wenn die Verteilung der Steine in der schwarzen Urne geändert wird. Für die Unabhängigkeit muss also die Wahrscheinlichkeit \(P(R|G)\) gleich der generellen Wahrscheinlichkeit \(P(R)\) sein. Dies impliziert jedoch, dass, ungeachtet der Änderungen in der schwarzen Urne, \(G\) und \(R\) nur dann unabhängig sein können, wenn die Wahrscheinlichkeiten konsistent bleiben.
Die beiden Ereignisse \(G\) und \(R\) können unabhängig werden, indem die Gesamtwahrscheinlichkeit \(P(R)\) so angepasst wird, dass sie der bedingten Wahrscheinlichkeit \(P(R|G) = \frac{18}{36}\) entspricht. Eine Änderung nur in der schwarzen Urne beeinflusst aber \(P(R)\) und nicht direkt die Unabhängigkeit zwischen \(G\) und \(R\), da \(P(R|G)\) unabhängig von der schwarzen Urne ist.
Um \(G\) und \(R\) unabhängig zu machen, müsste theoretisch die Verteilung der roten und blauen Steine in allen Urnen so angepasst werden, dass \(P(R)\) gleich \(P(R|G)\) ist. Da \(P(R|G) = \frac{1}{2}\) bleibt, müsste \(P(R)\) auch 0,5 entsprechen, was eine Anpassung in allen Urnen erfordern würde, nicht nur in der schwarzen.
