Konvergente Reihe mal konvergente Folge = divergent?

Question

ich suche eine konvergente Reihe und eine konvergente Folge deren Produkt divergent ist.

Hat jemand eine Idee ?

 

Comments

Schon mal was von Grenzwertsaetzen gehoert? Wenn ja, dann sollte Dir klar sein, dass es so was gar nicht gibt.

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DOch, sowas gibt es.

Zum Beispiel:

an und bn:= (-1)^{n-1} / wurzel aus n

an ist eine konvergente Reihe und bn ist eine konvergente Folge

Deren Produkt ist aber divergent ;)

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Genauer gesagt ist \(a_n\) eine konvergente Folge und \(\sum_{n=1}^\infty a_n\) eine konvergente Reihe.

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Da "berechnest" Du das Produkt auf unerlaubte Weise. Eine Regel \(a_n\sum b_n=\sum a_nb_n\) gilt halt nicht.

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Sollte die Aufgabenstellung eventuell so lauten:

Gebe zwei Folgen \(a_n\) und \(b_n\) an, so dass \( \sum a_n\) und \(b_n\) konvergiert, aber \(\sum a_n b_n\) divergiert.

?

Falls ja -> das ist nicht das, was oben in der Frage steht! Gast be1255 liegt mit seiner Einschätzung völlig richtig bezüglich der oben geposteten Fragestellung. Der andere Gast hat die von mir formulierte Aufgabe beantwortet.

Ich schätze mal die Verwirrung taucht durch die Indexwahl auf.

Answer 1

$$a_n=b_n=\frac{(-1)^n}{\sqrt n}\text{ für }n\in\mathbb N.$$

Comments

Wenn ich sage, die Reihe steht für ihre Summe, dann gilt mit \(a_n\to a\) und \(\sum b_n=b\) $$a_n\sum b_n\to ab.$$ Wenn ich sage, die Reihe steht für die Folge der Partialsummen \(s_n=\sum_{k=p}^n b_k\), dann habe ich $$a_n s_n\to ab.$$ Dein Beispiel taugt nichts, weil es keines gibt.

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Das ist kompletter Unsinn.

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Anstelle unqualifizierter Bemerkungen erklaerst Du besser mal, warum $$\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$$ nicht konvergieren soll.

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Da gibt es nichts, was konvergieren könnte.