Bestimmen Sie die Parameterwerte durch Ableiten von F(X). Berechnen Sie den Wert des Integrals.

Question

Aufgabe:

Betrachten Sie das bestimmte Integral \( \int \limits_{1}^{e} x \cdot(\ln x)^{2} d x \).

Eine Stammfunktion von \( f(x)=x \cdot(\ln x)^{2} \) ist von der Form \( F(x)=a x^{2} \cdot(\ln x)^{2}+b x^{2} \cdot \ln x+c x^{2} \)

a) Bestimmen Sie die Parameterwerte \( a, b \) und \( c \) durch Ableiten von \( F(x) \).

b) Berechnen Sie den Wert des Integrals.

Answer 1

F(x) = a·x^2·LN(x)^2 + b·x^2·LN(x) + c·x^2
F'(x) = 2·a·x·LN(x)^2 + x·(2·a + 2·b)·LN(x) + x·(b + 2·c)

2a = 1 ⇒a = 0.5
2·a + 2·b = 0 ⇒b = -0.5
b + 2·c = 0 ⇒c = 0.25

F(x) = 0.5·x^2·LN(x)^2 - 0.5·x^2·LN(x) + 0.25·x^2

F(e) - F(1) = e^2/4 - 1/4 = 1.597264024