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Wie sieht so ein Lösungsweg aus?

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Ich empfehle dir das Majorantenkriterium. Als Vergleichsreihe bzw. Majorante solltest du am besten ∑k=1∞ 1/k^2 benutzen, die konvergenz dieser Reihe habt ihr vermutlich in der Vorlesung bewiesen. Probiere es bitte zunächst alleine, im Notfall gebe ich dir einen Ansatz, wenn ich heute nochmal online bin ;)

Ich bin dabei davon ausgegangen, dass du die Konvergenz zunächst zeigen musst, wäre gut, wenn du die komplette Aufgabe reinstellst.

$$\text{Tipp: }\sum_{k=1}^N\frac2{4k^2-1}=\sum_{k=1}^N\left(\frac1{2k-1}-\frac1{2k+1}\right)=1-\frac1{2N+1}.$$

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