Konvergenzradius, Beispiel

Question

Ich habe online ein Beispiel gefunden, was ich nicht ganz verstehe:

Bestimmen Sie den Konvergenzradius der Potenzreihen:

\( \sum_{k=0}^{\infty}{\frac {k+2}{2^k}x^k} \)

Die Rechnung geht wie folgt:

\( \lim_{k\to\infty}  \sqrt [k]{|a_k|} = \lim_{k\to\infty} \sqrt [k]{\left|\sum_{k=0}^{\infty}{\frac {k+2}{2^k}x^k}\right|} = \frac{|x|}{2} \lim_{k\to\infty} \sqrt [k]{k+2} = \frac{|x|}{2} \)

Nach dem Wurzelkriterium ist der Konvergenzkreis {x ∈ ℂ : |x| < 2}.

1. Nachdem ich das ganze selbst nachgerechnet habe, verstehe ich zwar die Rechnung, aber nicht das Ergebnis. Warum kommt da jetzt \( \frac {|x|}{2} \) raus ?

2. Wie kommt der Konvergenzradius zu Stande ? Oder der Konvergenzkreis ?

Answer 1

Der Anfang ist das sog. Wurzelkriterium.

allerdings ist im 2. Schritt das Summenzeichen falsch. Das müsste heißen

... = lim k gegen unendlich  k-te Wurzel ( (k+2)*x^k / 2^k )

=  (|x|/2 ) * lim k gegen unendlich  k-te Wurzel ( (k+2)

=  (|x|/2) * 1

= |x| / 2

Und für   |x| / 2 < 1  ist es also konvergent,

das heißt    |x|  <  2

Und alle x mit    |x|  <  2 liegen in einem Kreis um 0 mit Radius 2.

Comments

ja das stimmt, Summenzeichen ist falsch. Ich habe einfach die Eingabe kopiert und nicht mehr drauf geachtet.

Danke für die Erklärung.

Answer 2

In der Berechnung des Konvergenzradius hat das Summenzeichen und des x^k nichts unter der Wurzel verloren.

^{k}√ (( k+2)/2^k) = 1/2 * ^{k}√(k+2)

Nun k gegen unendlich gehen lassen.

Formel für r vgl. 3. Zeile in https://de.wikipedia.org/wiki/Konvergenzradius#Wurzelkriterium