Nachweis für Monotonie bei Folge bn=(1+(1/n))^{n+1}

Question

ich komme bei meiner Aufgabe nicht wirklich weiter.

Ich soll einen Monotonie nachweis für  die Folge b_n=(1+(1/n))^{n+1} erbringen.

Ich bin wie folgt Vorgegangen:
Als erstes habe ich Testwerte eingesetzt, so wie 1;10;100; etc, und bin zu dem Entschluss gekommen dass ich meine Vermutung äußere, dass (b_n) streng monoton fallend ist.

Die Veraussetzung für eine Streng monoton fallende Folge ist: b_n+1 < b_{n ,} ∀ n∈ℕ.

also habe ich diese Ungleichung aufgestellt:

$$ { \left( 1+\frac { 1 }{ n+1 }  \right)  }^{ n+2 }<{ \left( 1+\frac { 1 }{ n }  \right)  }^{ n+1 } $$

Und tja, jetzt habe ich keine Ahnung mehr. Ich habe gelesen dass die Bernoulli-Ungleichung mir hier weiter helfen kann, aber ehrlichgesagt durchblicke ich das nicht ganz. Wäre um jeden Ratschlag dankbar, und wünsche euch allen einen angenehme Nacht.

Answer 1

einfach mal was umformen und durch die linke Seite teilen ( > 0 ist die ja)

((n+2)/(n+1) ) ⁿ⁺² < (   (n+1) / n ) ⁿ⁺¹

1 < (   (n+1) / n ) ⁿ⁺¹ /  ( ((n+2)/(n+1) ) ⁿ⁺² )

Um das zu zeigen wird weiter umgeformt

(   (n+1) / n ) ⁿ⁺¹ /  ( ((n+2)/(n+1) ) ⁿ⁺² )

     =    [ (( n+1)(n+1) ) /  ( n * (n+2) )  ]ⁿ⁺¹   *    (n+1)/(n+2)

    =   [   1 + 1/( n*(n+2) ) ] ⁿ⁺¹   *    (n+1)/(n+2)  jetzt Bernoulli

> [ 1 + (n+1)/( n*(n+2) ) ]   *    (n+1)/(n+2)

=   (n+1)/(n+2)   + (n+1)^2 /( n*(n+2)^2 )

=   (n+1)*n*(n+2)/ ( n*(n+2)^2)^2    + (n+1)^2 /( n*(n+2)^2 )

= (    (n+1)*n*(n+2) + (n+1)^2     )   /( n*(n+2)^2 )

= (n^3 + 4n^2 + 4n + 1 ) / (  n^3 + 4n^2 + 4n )

und weil der Zähler immer um 1 größer ist als der Nenner, ist

der Bruch immer größer als 1.   q.e.d.

 

Comments

Fehlt vor dem +2 nicht noch das n? Es wurde ja um den Bruch \( \frac{n·(n+2)}{n·(n+2)} \) erweitert oder?

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Klar, habe ich korrigiert.