Wie berechne ich aus unbekannten Vektorräumen die Basisvektoren?

Question

Hi, ich habe eine Frage zu folgender Aufgabe: Gegeben sei der Vektorraum U = {(x1,x2,x3,x4)^T ∈ R4 : 2x1 + x2 −x3 = 0 , x2 + x3 −x4 = 0} . a) Bestimmen Sie Orthonormalbasen von U und U⊥, wobei ein Basisvektor von U⊥ die Form (a,b,c,0)^Tbesitzen soll. b) Bestimmen Sie zu v = (2,3,1,1)T die Zerlegung v = x + y mit x ∈ U und y ∈ U⊥.
Mir ist bei a nicht ganz klar, wie ich die Basisvektoren berechnen kann. Und bei b habe ich verständnisprobleme. Was wird da genau von mir verlangt? Muss ich hier einfach einen Basisvektor des Raumes U und einen des Raumes U⊥ nehmen und diese dann mit einem Skalar so addieren, dass v rauskommt? Hoffe jemand kann mich helfen.

Answer 1

a) Bestimmen Sie Orthonormalbasen von U und U⊥, wobei ein Basisvektor von U⊥ die Form (a,b,c,0)^Tbesitzen soll.
2x1 + x2 −x3 = 0     und     x2 + x3 −x4 = 0 
Das Gl.system hat offenbar Rang=2 , also kann man zunächst a,b frei wählen
und dann x3 und x4 berechnen
2a + b = x3    und   b + 2a+b  = x4
Also  x =  (a , b , 2a+b ,  2a + 2b  )^T  = a(1;0;2;2)^T + b*(0;1;1;2)^T
Also Basis von U    (1;0;2;2)^T  und  (0;1;1;2)^T .
zwei dazu linear unabhängige (die auch untereinader lin. unabh. sind) wären
etwa ( -2 ; -1 ; 1;0 )^T   (Der hat schon mal die gewünschte Form  (a,b,c,0)^T.   )
und     (-2;-2;0;1)  
                              
  Jetzt beide Basen orthonormieren (Gram-Schmidt Verfahren)