Wie stellt man eine Gleichung auf für eine Gerade, die nur eine gewisse Länge hat?

Question

Nun ich muss eine Aufgabe lösen, in der ein im Ursprung befestigten Hebel (3.6 cm lang) bewegt wird bis er eine Funktion berührt (f(x) = -0.5x² + 3x - 2.5. Es wird nun gefragt, wo der Hebel auf die Funktion auftrifft.

Mein einziges Problem in dieser Aufgabe ist die Längenangabe. Dies verwirrt mich, wie muss ich dies lösen? Ich kann ja nicht einfach t(x) = m*x + q verwenden.

Comments

"Ich kann ja nicht einfach t(x) = m*x + q verwenden."

Mach das mal. Du kannst dann immer noch schauen, ob der Punkt nun zu weit von O entfernt ist.

q ist übrigens 0.

Wenn der gefundene Berührpunkt zu weit weg ist.

Schneide die Halbkreise

y = √(3.6^2 - x^2)

bzw.

y = -√(3.6^2 - x^2)

mit f.

Answer 1

Verwende den Satz von Pythagoras

x^2 + (- 0.5·x^2 + 3·x - 2.5)^2 = 3.6^2 --> x = -0.3417779310 ∨ x = 2.993340872

Errechne jetzt auch noch die y-Koordinate und stelle das grafisch dar.

Comments

Herzlichen Dank! Nun in der Aufgabe geht es um die Anwendung der Differentialrechnung. Wenn ich dies richtig sehe, so wird bei Ihrer Lösung diese nicht benötigt. Hätten Sie auch einen Vorschlag, in dem man ableiten muss um zur Lösung zu gelangen?

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Alternative ist Tatsächlich eine Ursprungsgerade zu bestimmen die die Funktion berührt.

(f(x) - 0) / (x - 0) = f'(x) --> x = √5

Hier ist dann eine Seite des Hebels im Ursprung und die andere im Raum. Weiter liegt der Hebel an der Funktion an.

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Und wie haben Sie hier nun die 3.6 cm berücksichtigt beim rechnen? Ich muss die Aufgabe für verschiedene Längen des Hebels lösen, daher die Frage.

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Die Hebellänge geht hier gar nicht mit ein, weil der Hebel wie in der Skizze an der Funktion liegt.

Damit ist also das Hebelende im Raum.

Aber dann wäre ja nicht gefragt wo das Hebelende ist.

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Berühren ist hier wohl nicht im Sinn von Tangente zu verstehen.
Gefragt ist vermutlich nach einem Punkt auf der Parabel, der vom Ursprung den vorgegebenen Abstand hat.

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Ich muss den Hebel in einer weitern Aufgabe halbieren. Dadurch könnte es sein, dass das Ende des Hebels weiter unten die Funktion berührt (z.B. im Punkt (2 ; 1.4), nicht? Da muss ich ja die Länge berücksichtigen..

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Ja das ist wohl der Fall. Das sieht man ja auch an der Skizze sehr deutlich.

Bei der halben Hebellänge würdest du dann wie folgt rechnen

x^2 + (- 0.5·x^2 + 3·x - 2.5)^2 = 1.8^2 --> x = 0.2495002778 ∨ x = 1.539254310

Auch das solltest du dann mal einzeichnen.

Answer 2

Ich schlage dir folgende Vorgehensweise vor.

Du berechnest mit Pythagoras mal die Länge des Hebels.

x² + y² = 3,6

Für y setzt du jetzt mal die Funktion ein.

x² + (-0.5x² + 3x - 2.5)² = 3,6

Das gilt es dann jetzt nach x aufzulösen um den x-Wert des Berührpunkts herauszufinden.