Funktionsgrenzwert ohne l'Hospital

Question

Es soll der Funktionsgrenzwert ohne zur Hilfenahme der Regel von l'Hospital bestimmt werden. Ich komme bei dieser Aufgabe leider nicht weiter und bräuchte einen Lösungshinweis.

$$\lim _{ x\rightarrow 0 }{ \frac { \sqrt { 2-{ x }^{ 2 } } -\sqrt { 2+{ x }^{ 2 } }  }{ { x }^{ 2 }-x }  } $$

Man müsste Erweitern, aber mit was? Habe es bereits mit (4-x^3)/(4-x^3) probiert. Bringt aber keine zufriedenstellende Lösung.

Ich wäre für Hinweise dankbar.

Answer 1

erweitere mit (wurzel(2-x^2) + wurzel(2 +x^2) ) und wende im Zähler 3. binomi. Fo. an.

Comments

Da würde ja im Zähler dann 0 heraus kommen. Dürfte ja dann auch nicht sein.

Oder habe ich da was falsch verstanden?

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gibt im Zähler 2-x^2 - ( 2+x^2) = -2x^2 

Kann man da nicht was kürzen

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Okay, dann erhält man ja folgendes

$$ \frac { -2 }{ \sqrt { 2-{ x }^{ 2 } } +\sqrt { 2+{ x }^{ 2 } }  } +\frac {2x  }{\sqrt { 2-{ x }^{ 2 } } + \sqrt { 2+{ x }^{ 2 }  }  } $$

Der hintere Term wird ja dann 0 und der Forder würde dann zu $$\frac{-2}{2\sqrt{2}}$$ für den Grenzwert.

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Wenn du richtig gerechnet hast, kannst du noch kürzen zu

-1/√2 = -√2 / 2

je nach dem, wie ihr eure Ergebnisse anzugeben habt.

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okay danke.

Laut wolframalpha erhält man Unendlich als Grenzwert. Würde mit dem ermittelten nicht übereinstimmen.

Gibts in der bisherigen Betrachtung einen Fehler?

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Bei deiner Eingabe fehlte ein MINUS

Aber WA kommt immer noch auf 0.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=lim+%28%28sqrt%282-x%5E2%29+-+sqrt%282%2Bx%5E2%29%29%2F%28x%5E2-x%29%29+where+x+to+0