sinus und Kosinus Funktionen für komplexe Zahlen

Question

Folgerung: Fur alle z ∈ C gilt : sin² (z) + cos² (z) = 1

Beweis: Fur jedes z ∈ C wird sin² (z) + cos² (z)

= 1 /(2i) ² (e ^iz − e ^-iz) + 1 /4 (e ^iz + e ^-iz)

= − 1/ 4 (e ^2iz − 2 + e ^-2iz) + 1 /4 (e ^2iz + 2 + e ^-2iz)

= 1. 

Kann mir jemand bitte diese Rechnung erklären?

Answer 1

Ja. sin(z) := (e^iz - e^-iz)/2i und cos(z) := (e^iz + e^-iz)/2 für alle z∈ℂ