Sei A eine Menge mit |B| < |A| für alle B element 2^A mit B ungleich A. Ist A unendlich

Question

Sei A eine Menge mit |B| < |A| für alle B ∈ 2^A mit B ≠ A. Ist A unendlich?

Mein erstes Problem ist, dass ich nicht weiß, was 2 hoch A bedeuten soll. Kann mir das vielleicht jemand erklären?  Am besten direkt auch die Antwort auf die Frage oben mit einer kurzen erklärung, damit ich es auch verstehe.

Comments

\(2^A\) ist die Potenzmenge von A

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Aber woher weiß ich ob A unendlich ist?

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Das sollst du ja prüfen bzw. überlegen. Wenn dir eine endliche Menge A einfällt, für die das obige gilt, dann wäre die Antwort:

Nein, A muss nicht unendlich sein. Was eventuell noch eine Überlegung Wert wäre: Kann A überhaupt unendlich sein?

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Ich verstehe auch nicht so ganz was B ∈ 2^A bedeutet. Hier mal ein Beispiel so wie ich das verstanden habe. Wenn A = {1,2,3} dann ist 2^A ja {{1},{2},{3},{1,2},{1,3}{2,3},{1,2,3}}. Ist B dann auch {1,2,3}? Weil {1,2,3} ist ja Element von 2^A.

Ich denke dass A dann unendlich sein müsste, weil wenn es nicht unendlich wäre wäre ja B genau so mächtig wie A.

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Nein B kann irgendeine der Mengen aus 2^A außer (!) A selbst sein.

\(B \in 2^A\) bedeutet einfach, dass \(B\) eine Teilmenge von \(A\) ist. \(B \neq A \) bedeutet dabei, dass B nicht A ist.

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OK. Dann muss A also nicht unendlich sein, weil z.B. wenn A = {1,2,3} dann ist B z.B. {1,2} und das ist weniger Mächtig als A. Habe ich das jetzt richtig verstanden?

Aber was ist, wenn A = ℕ ? Dann gibt es doch auch möglichkeiten für die B auch unendlich ist und dann gilt nicht mehr |B| < |A|

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Du versuchst hier jeweils mit einem konkreten Beispiel etwas zu beweisen, das klappt nicht.
Ja, A muss nicht unendlich sein, weil bei jeder endlichen Menge A JEDE ECHTE Teilmenge von A weniger Elemente besitzt.
Verallgemeiner dein zweites Beispiel um zu zeigen, dass A gar nicht unendlich sein kann.

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Hmm wie kann man das denn formulieren? Kann ich einfach schreiben: Wenn A unendlich wäre, gäbe es auch echte Teilmengen von A die unendlich sind. Damit wäre A genau so mächtig wie B.

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Das wäre bloss eine Behauptung die du eventuell beweisen müsstest (Aber immerhin schon die richtige Formulierung die zu zeigen wäre).

Wobei das mit dem unendlich sone Sache ist. Konzentriere dich auf die Mächtigkeiten.