Zu zeigen unendlicher Dezimalbruch Element Q

Question

Hallo wie kann ich das denn zeigen? Wäre super wenn mir jemand helfen kann

Vielen lieben Dank im Voraus :)

Answer 1

Der Begriff "unendlicher Dezimalbruch" meint wohl "nicht-abbrechender Dezimalbruch".

Die eine Richtung des Beweises:

Sei n die Periodenlänge und d der Dezimalbruch. Dann ist 10ⁿ·d - d= [a₁a₂a₃...a_n] und d=[a₁a₂a₃...a_n]/(10ⁿ - 1) also rational.

Die andere Richtung:

Sei d rational, dann ist d=m/n mit natürlichen Zahlen m und n. Die schriftliche Division m/n kann maximal m-1 verschiedene Reste haben. Dann aber wiederholt sich die Folge der Reste periodisch.