Nullstelle bei der Funktion: f(x)= x+(1/2)*e^{-x} möglich?

Question

ich brauch  eure Hilfe für meine mündliche Abiturprüfung. Ist es möglich hier eine Nullstelle zu finden?

Ich glaube, dass es keine Nullstelle gibt, jedoch weiß ich nicht wie ich das Beweisen kann. Ich würde die Formel (f(x)= x+(1/2)*e^{-x}) auflösen. Jedoch käme ich dann immer noch nicht weiter.

0 = x+(1/2)*e^{-x}

-2x = e^{-x}


Kann man dafür einen treffenden Beweis finden? Oder muss man seine Denkweise einfach nur erklären?

Comments

Also ich hätte eine Idee. Wenn Du eine Kurvendiskussion machst und zeigen kannst, dass das absolute Minimum über der x-Achse liegt, dann sollte damit bewiesen sein, dass es keine Nullstelle gibt.

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aber mir fällt keine idee ein, wie man das beweisen könnte

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Naja, Du bestimmst alle Minima und nimmst das kleinste. Das ist das absolute Minimum, also der tiefste Punkt der Funktion. Wenn der tiefste Punkt der Funktion einen positiven y-Wert hat, dann kann keiner der anderen y-Werte der Funktion 0 oder kleiner als 0 sein. Es kann also keine Nullstelle geben. Das sollte Beweis genug sein.

Ich kann Dir die Kurvendiskussion aufschreiben, wenn Du willst.

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Wäre echt nett wenn du die kurvendiskussion machen könntest.

Answer 1

Deine Vermutung ist auf jeden Fall richtig. Vgl. Graph(grün):

Deine Funktion (die blaue) ist die Summe von rot (y=x) und grün (y=1/2e^{-x})

Rechts von der y-Achse ist offensichtlich keine Nullstelle möglich, da beide Funktionswerte > 0.

Links der y-Achse kannst du vermutlich auch graphisch argumentieren, wenn du nicht den im Kommentar vorgeschlagenen Weg befolgen willst.

Answer 2

f(x)= x+(1/2)*e^-x;

f'(x)= 1-1/2*e^{-x}; //1. Ableitung

f''(x)= 1/2*e^{-x};    //2. Ableitung

f'(x)=0; //hinreichendes Kriterium

1-1/2*e^{-x} = 0;

x=-ln(2);

f''(x=-ln(2))=1 > 0; //notwendiges Kriterium --> Minimum

f(x=-ln(2))=1 -ln(2); -->Min( -ln(2) | 1-ln(2) )

 lim_x→+∞f(x) = lim_x→+∞x+(1/2)*e^-x = +∞; //x geht gegen +∞, e^-x geht gegen 0

 lim_x→-∞f(x) = lim_x→-∞x+(1/2)*e^-x = +∞; //x geht gegen -∞, e^-x geht gegen +∞, die e-Funktion steigt schneller

]-∞; 0[  : f'(x) < 0 streng monoton fallend

]0; +∞[  : f'(x) > 0 streng monoton steigend

 

Das sind denke ich die wichtigen Punkte. Es gibt nur ein Minimum mit einem positiven y-Wert. Da die Funktion stetig ist, also keine Sprünge macht, wird sie die x-Achse nicht berühren oder schneiden.

Meiner Meinung nach reicht das als Beweis aus um zu zeigen, dass die Funktion keine Nullstelle hat. Um sicher zu gehen solltest Du da aber noch einen Lehrer oder jemanden anderen fragen.

Ich gebe Dir keine Garantie darauf, dass das so auch akzeptiert wird. Ich bitte Dich das als Lösungsidee zu verstehen. Ausarbeiten musst Du das noch selber, da Du selber besser weißt was verlangt wird und wie genau Deine Beweisführung sein muss und welche Fragen noch gestellt werden.

Bei der Grenzwertbetrachtung für x→-∞ bin ich mir nicht sicher ob Dir die Begründung mit der Exponentialfunktion ausreichen wird. Ich hätte die Funktion noch umgeformt und dann die Regel von l'Hospital angewendet, dann sieht man ganz deutlich, dass die Funktio gegen +∞ geht.

 

lg JR