Lösung des Anfangwertproblems x'=x+tx^a

Question

Sei α ∈ ℝ \ {0,1}.

Zeigen Sie, dass es ε₁,ε₂ > 0 gibt, so dass auf (-ε₁,ε₂ ) die Lösung des Anfangwertproblems
x' = x + tx^α , x(0) = x₀ > 0 existiert.

Geben Sie die Lösung explizit an (ε₁ und ε₂ müssen nicht explizit bestimmt werden)

Answer 1

das ist eine Bernoulli Differentialgleichung die folgendermaßen definiert ist

$$ y' + g(t) y + h(t) y^\alpha = 0 $$ Diese Gleichung lässt sich in eine lineare Differentialgleichung für die transformierte Größe

$$ z = (1-\alpha)y^{-\alpha} $$ umformen.

Man erhält, $$ z' + (1-\alpha) g(t) + (1-\alpha)h(t) = 0 $$

In Deinem fall gilt, \( g(t) = 1\) und \( h(t) = t \)

D.h. Du musst folgendes inhomogene lineare Problem lösen

$$ z' + (1-\alpha) z +(1-\alpha) t = 0 $$

Wenn Du die Lösung gefunden hast musst Du noch die Rücktransformation machen.

Die Anfangsbedingung muss natürlich ebenfalls transformiert werden.