Du die hat es echt in sich. Die Funktion g ( x ) := 1 / x besitzt bei x = 0 einen ( einfachen ) Pol; das Selbe muss dann logisch auch zutreffen auf h ( x ) := 1 / sin ( x ) , welch Letzeres man auch elementar ganz einfach bestätigt. WENN der Grenzwert von f ( x ) := g ( x ) - h ( x ) endlich bleiben soll. Wir werden sogar zeigen: f ( x ) besitzt in x = 0 eine einfache Nullstelle. Was ist das überhaupt, eine n-fache Nullstelle? bei Polynomen kriegen wir das noch mit Ach und Krach hin; aber bei ===> transzendenten Funktionen?
DEFINITION 1
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Eine Funktion f ( x ) heiße vom Typ ( x0 ; n ) , wenn sie in einer ( offenen ) Umgebung von x0 n-mal differenzierbar ist.
DEFINITION 2 ( n-fache Nullstelle )
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Eine Funktion f ( x ) hat eine n-fache Nullstelle in x0, wenn es eine Funktion g ( x ) gibt vom Typ ( x0 ; n ) , so dass
f ( x ) =: g ( x ) ( x - x0 ) ^ n ( 1a )
Mit ( 1a ) folgen sämtliche Werte von g aus denen von f - mit Ausnahme freilich des Nullpunktes. Da aber g insbesondere stetig ist in x0 , fordere ich
g0 := g ( x0 ) := lim g ( x ) ( 1b )
x ===> x0
g0 < > 0 ( 1c )
Dabei erweist sich Ungleichung ( 1c ) als entscheidende Eindeutigkeitsforderung; sonst könntest du in ( 1a ) genau so gut jedes andere m < n wählen.
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Es gibt noch eine alternative Definition dieses Begriffs; diese hier wird sich aber für unser Problem als viel handlicher erweisen. Um es noch einmal zu betonen: Es reicht grundsätzlich nicht zu zeigen, dass f den Grenzwert Null hat; wir müssen uns immer auch die Vielfachheit dieser Nullstelle überlegen. In deinem Fall ist, wenn wir denn auf einfache Nullstelle wetten
sin ( x ) - x
g ( x ) = ------------------------------------ ===> ( 0 - 0 ) / 0 ( 2 )
x ² sin ( x )
Für die Krankenhausregel anzuwenden, gibt es einen schweinischen Trick. Aus dem Stand kannst du ohne Zwischenschritte die 4 711. Ableitung des Nenners von ( 2 ) hinschreiben; da gibt es nämlich eine verallgemeinerte Produktregel ( Courant Band 2 ) Diese besagt, dass die n-te Ableitung genau dem binomischen Lehrsatz mit seinen ===> Binominalkoeffizienten folgt:
( u v ) ' = u ' v + u v ' ( 3a )
( u v ) " = u " v + 2 u ' v ' + u v " ( 3b )
( u v ) (³) = u (³) v + 3 u " v ' + 3 u ' v " + v (³) ( 3c )
Zweckmäßiger Weise setzen wir
u := sin ( x ) ; v := x ² ( 4a )
weil du dann den Nenner nach fallenden Potenzen von x ordnest.
Wir spielen jetzt " Meta-Hospital " ; was vermeinst du, wie oft wir ableiten müssen, um den Einfluss des Faktors x aus dem Nenner raus zu kriegen, der uns ja nix als Terme einträgt, wo Null werden? Dieses binomische Prinzip belehrt dich: Genau zwei Mal; denn die 2. Ableitung von v = x ² verschwindet nicht mehr. Wir halten uns also gar nicht groß auf mit der ersten Ableitung.
- sin ( x )
lim = g = lim ---------------------------------------------------------------- = 0 / 0 ( 4b )
- x ² sin ( x ) + 4 x cos ( x ) + 2 sin ( x )
Und jetzt direkt aus ( 2 ) die 3. Ableitung; jetzt MUSS esklappen. Weil jetzt kommt im Zähler etwas ungleich Null.
- cos ( x )
lim = lim --------------------------------------------------------------- = ( - 1/6 ) ( 4c )
- x ² cos ( x ) - 6 x sin ( x ) + 6 cos ( x )
