Bildliche Darstellung von exp und Konvergenzradius

Question

Ich habe die oben stehenden Aufgaben zu bearbeiten.

Zu Aufgabe 2:

Ich weiß leider nicht, wie man nachvollziehen kann was hier wozu gehört. Außerdem weiß ich nicht, ob es hier nach Aufgabenstellung reicht einfach kurz zuzuordnen ?

Zu Aufgabe 3:

Ich habe die Formel von Chauchy-Hadart um den Konvergenzradius zu bestimmen, alerdings komme ich bei den hier gegebenen Funktionen nicht weiter weil ich Probleme habe den limsup zu bestimmen. Wäre schön wenn mir da jemand helfen könnte.

Zu Aufgabe 4:

Vielleicht kann mir da einfach jemand einen kleinen Denkanstoß geben :)

Comments

keiner der mir bei den Aufgaben weiterhelfen kann?

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könnte noch jemand erklören wie die 3 funktioniert?
Wie schreibe ich das so um, dass ich über die Potenzreihe den Konvergenzradius erechnen kann?

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Cauchy-Hadamard, und dan limes kann man relativ leicht per Einschnürungssatz berechnen..

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aber ich muss ja erstmal a_n haben, und dafür muss da ja x^n stehen. Wie schaffe ich es das dahin umzuformen?

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Es staht doch xⁿ da. 

Wenn dich irritiert dass beim ersten z.B.kein x² dasteht, da ist der Koeffizient halt 0.

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Da steht ja x²ⁿ⁺⁵. damit kann ich doch kein Cauchy Hadamard machen oder?

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Doch kann man. Wie bereits gesagt, etliche Koeffizienten sind halt 0. 

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x²ⁿ⁺⁵=x^2n*x⁵

x⁵ dann vor die summe ziehen

anschließend substituieren

z=x²

dann hast ud in der summe an*zⁿ  und du kannst den konvergenzradius ganz leicht berechnen

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also hätte ich dann bei der a da stehe:

(4ⁿ⁺¹⁰ / 2ⁿ ) * z^n

??

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Ja so habe ich das auch :)
Dann einfach den konvergenzradius bestimmen.
Aber beachte, dass du am ende noch die wurzel deines ergebnisses ziehen musst.
Hast ja mit z anstelle von x^2 gerechnet

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ok. ich komme allerdings mit b und d noch nicht klar. gibt es da einen Trick? :)

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da wird es sicherlich einen trick geben auf den ich allerdings noch nicht gekommen bin.....

wurde auch wieder nichts ähnliches in der vorlesung oder im skript erwähnt....

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da du ja offensichtlich das selbe blatt hast:
weißt du was ich bei aufgabe 1 machen muss wenn ich den radius bestimmt habe und den rand untersuchen will?

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du bekommst ja so etwas wie 
die reihe konvergiert für alle |z|<r oder so 
nun setzt du |z| = r und setzt das ein und schaust ob das > oder < 1 ist, sofern ich das richtig verstanden habe...
was hast du denn bei 1b) und d) für nen radius raus?

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bei b) ist der Radius 1/3

Aufgabe d : keine Ahnung wie man da vorgehen muss.

Hast du bei Aufgabe 2 irgendwas speziell begründet?

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hast du die b mit cauchy hadamard oder über die variante des wurzelkriteriums gelöst?

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ne bei 2 waren das bei mir 3 sätze

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b hab ich mit C.H. gemacht

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okay

dann versuche ich das auch einmal :)

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also ich habe nch keine ahnung zu 3 b und d.
Hat da jemand was für mich?

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Ich muss diese Aufgabe lösen und mir wurde gesagt das das irgendwie mit dem Cauchy Produkt geht. Ich komme da allerings seit mehreren Tagen nicht weiter :(

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Ich komme da allerings seit mehreren Tagen nicht weiter

Dann musst du etwas anderes versuchen, z.B. Differentialrechnung.

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rechne die linke geometrische reihe aus und quadriere das ergebnis

rechts multilpizierst du aus und teilst die summe auf

dann weiter umformen

kommst am ende auf

1/(1-x)^2=1/(x-1)^2

Answer 1

Hallo

zu 2 Betrag sollte klar sein, der ist immer größer 0

Re(z)=0 für z=0  Im(z)für z=0 nicht definiert, schon damit kann man alles entscheiden.

zu 4  links geometrische Reihe  Ergebnis hinschreiben, und  dann das Quadrat-

rechte Seite differenziere die geometrische Reihe.

Gruß anoy

Comments

warum ist denn Im(z) für z=0 nicht definiert ?

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Die Exponentialfunktion nimmt ja nur reelle Werte an, die echt größer als Null sind. Da du \(Im(e^z) \) betrachtest, ist \(Im(0)\) also nicht definiert.

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Also ist das erste Bild z->Im(exp(z)) und das dritte z->Re(exp(z)) ?

Und z->|exp(z)| das in der Mitte, aber das ist ja klar.

Answer 2

Hi,
für eine Lösung zur Aufgabe 5 kannst du dir mal das Cauchy-Produkt anschauen.

Liebe Grüße, Bruce

Comments

also ich habe mir das Cauchy Produkt jetzt sehr lange angeschaut, aber ich sehe noch immer nicht den zusammenhang zur Aufgabe :(

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Es gilt:
$$ (\sum_{n=0}^{\infty}x^n)^2=(\sum_{n=0}^{\infty}x^n) \cdot (\sum_{n=0}^{\infty}x^n) = \sum_{n=0}^{\infty}c_n \ ,$$
wobei
$$ c_n=\sum_{k=0}^n x^k \cdot x^{n-k} .$$
Jetzt bist du so gut wie fertig. Bedenke, dass du das Cauchy-Produkt anwenden darfst, da die Reihe \(\sum_{n=0}^{\infty}x^n\) für \(x \in (-1,1) \) absolut konvergiert (Stichwort: Geometrische Reihe).

Answer 3

*	x0	x1	x2	x3
x0
x1
x2
x3

Man multipliziert zwei Summen/Reihen, indem man jeden Summanden der ersten Summe/Reihe mit jedem Summanden der zweiten Summe/Reihe multipliziert und alle Produkte addiert. In diesem Sinne: Fuelle die obige Tabelle aus, denke sie Dir in beide Richtungen ins Unendliche verlaengert, und fasse die Produkte diagonalenweise zusammen. Dann hast Du das Cauchy-Produkt der geometrischen Reihe mit sich selber berechnet und solltest das Ergebnis von oben bekommen.

Comments

Da das Cauchy-Produkt in der Aufgabenstellung schon direkt dasteht, ist einzig die Voraussetzung zur Anwendung der Produktformel nachzuweisen.

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Es wird Teil der Aufgabe sein, die Gleichung zu verifizieren. Schlicht zu behaupten, das Cauchyprodukt der geometrischen Reihe mit sich selber stuende schon da, wird nicht reichen. Allerdings sind die Voraussetzungen für die Bildung des Cauchy-Produktes natuerlich ebenfalls zu ueberpruefen.