Konvergenzradius von unendlicher Reihe mit Summanden (n-1)!/n^n berechnen

Question

Man bestimme den Konvergenzradius der unendlichen Reihe

$$\sum _{ n=1 }^{ \infty  }{ \frac { (n-1)! }{ { n }^{ n } }  } { x }^{ n }$$

Ich bekomme unendlich heraus, kann mir aber nicht vorstellen, dass das stimmt.

Comments

Was hast du gerechnet? Unendlich stimmt jedenfalls nicht.

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Etwas Ähnliches(?) umgekehrt?

https://www.mathelounge.de/90981/konvergenzradius-der-potenzreihe-summe-von-bis-unendlich

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Was meinst du mit umgekehrt?

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Sorry. Hatte Link vergessen.

Answer 1

Es ist

\(\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{n!}{(n+1)^{n+1}}\cdot\frac{n^n}{(n-1)!}=(\frac{n}{n+1})^{n+1}=\frac{1}{(\frac{n+1}{n})^{n+1}}=\frac{1}{(1+\frac{1}{n})^n\cdot(1+\frac{1}{n})}\).

Das konvergiert gegen \(R^{-1}=\frac{1}{e\cdot 1}=e^{-1}\), also \(R=e\).