Auf Projektion prüfen?

Question

Brauch Bitte Hilfe bei dieser Aufgabe:

Gegeben:

Sei V ein K-vektorraum. Ein Endomorphismus P:V-> V heißt Projektion, falls P^2 = P gilt. Sei P eine Projektion zeigen sie:

1)Ran P = {v Element V l P(v) = v}

2)V= RanP @ KerP

Ich habe schon ein wenig recherchiert aber stehe einfach aufm Schlauch ....ich habe zu 2) gelesen : dass V algebraisch mit der direkten Summe kerP @ ranP identifiziert werden kann, denn jedes Element V lässt sich als v = (id-P)(v)+P (v) schreiben. Das die summe topologisch direkt ist, folgt aus der Stetigkeit von P.

Ist das richtig? Und wenn ja könnte mir das jemand erklären ...da ich nicht weiß was mir das sagen soll??

Comments

Diese Definition von Projektion kenne ich vor allem aus R^3 (und lässt sich wohl verallgemeinern).

Was aber sind Ran und Ker ?

Range = Bildbereich und

Kern = der Bereich, der auf den Nullvektor abgebildet wird.

 P² = P bedeutet, dass jeder Vektor im Bildbereich von P unter Projektion ein Fixvektor ist und das wäre ja gerade 1)

Zu deinen Recherchen: Wie habt ihr denn Stetigkeit in V definiert?

Hast du https://www.mathelounge.de/70394/la-3-bild-kern-ρ-v-heisst-projektion-wenn-ρ-ρ-ρ-beh-v-bild-ρ-⊕-kern-ρ

gesehen?

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Fortsetzung bei Bedarf hier: https://www.mathelounge.de/299057/zeigen-sie-das-folgende-projektionen-gelten

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Dankesehr für die Hilfe :)

Answer 1

Ran P = {v Element V l P(v) = v}    Ich nehme mal an Ran P  ist das gleiche wie Bild(P)

= {v Element V l es gibt ein u aus V mit P(u) = v} .

wenn dem so ist, ist das ja einfach, denn wenn gilt

es gibt ein u aus V mit P(u) = v

dann gilt ja auch

es gibt ein u aus V mit P(P(u)) = P(v)  

und wegen der Projektionseigenschaft heißt das

es gibt ein u aus V mit P(u)=P(v)  und zusammen mit  P(u) = v            

also es gibt ein u aus V mit P(v)=v .

Da das u also gar nicht mehr vorkommt, gilt das

für die Menge {v Element V l P(v) = v} .    q.e.d.

Das zweite findest du bei
https://www.mathelounge.de/70394/la-3-bild-kern-%CF%81-v-heisst-projektion-wenn-%CF%81-%CF%81-%CF%81-beh-v-bild-%CF%81-%E2%8A%95-kern-%CF%81

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Vielen dank für die Hilfe. Langsam komm ich rein :)