Reihen folgt aus konvergenz konvergenz

Question

Hallo ich habe folgende Aufgabenstellung

Ich habe mir überlegt aus der absoluten konvergenz von an^2 folgt die absolute konvergenz von an. Das kann man mit majorantenkriterium zeigen. Wenn eine Reihe absolut konvergent ist ,ist sie auch konvergent.

Wie würde es aber auschaun wenn ich nur die konvergenz zur Verfügung hätte ? Bzw. wie kann ich das zeigen . Bzw. wie wäre die Richtung von an auf an^2 ?

Answer 1

Hallo arni,

Aus der (absoluten) Konvergenz von \( \sum a_n^2\) kannst du im Allgemeinen nicht die (absolute) Konvergenz von \(\sum a_n\) folgern. Dafür gibt es ein einfaches Gegenbeispiel.

Außerdem lässt sich auch ein Gegenbeispiel finden bei dem \(\sum a_n\) konvergiert aber nicht \(\sum a_n^2\).

Konvergiert hingegen \(\sum a_n\) absolut, so auch \(\sum a_n^2\), was man z. Bsp. mit dem Majorantenkriterium zeigen kann.

Gruß

Comments

Hallo und danke für die Antwort.

Zu 1) Bsp. an^2 = 1/k^2

Zu 2) Bsp an= ((-1)^n)/wurzel (n)

Und 3 ) muss ich da zeigen |an^2|<=|an|

Wenn ja wie begründe ich das?

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Verwende, dass \(|a_n|\) eine Nullfolge sein muss.

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Asoo dann gilt das aber nur dafür wenn |an|<1  aber für die Allgemeinheit nicht.

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Wenn \(|a_n|\) eine Nullfolge ist, dann gibt es ein \(N \in \mathbb{N} \) so dass

$$ |a_n| < 1 $$

für alle \(n \geq N\).

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asoo ab einem bestimmten index werden die Beträge Kleiner als 1 . dann bildet die Folge eine 0-Folge und die Reihe ist somit konvergent.

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Welche Folge bildet eine Nullfolge und warum soll deswegen welche Reihe konvergent sein?

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an soll eine Nullfolge bilden . damit ist |an^2|≤|an| . Wegen dem Majorantenkriterium ist dann |an^2| absolzt konvergent oder hab ich da was missverstanden?

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Das ist der grobe Grundgedanke. Wichtig ist dabei natürlich die saubere Abschätzung.

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ok . Und die saubere Abschätzung würde wie aussehen? So wie in deinem Vorletzen Kommentar oder fehlt mir da noch was?

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Du musst bei deiner Abschätzung darauf achten, dass \(|a_n|^2 \leq |a_n| \) erst ab dem genannten Index \(N\) gilt.

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Ah ok ! Wir haben bei einigen Aufgaben zb gezeigt das Reihen erst Konvergent ab einem Bestimmten Index sind . Hat das etwas damit zu tun bzw. das Reihen nicht zwingermaßen konvergent für alle Indexe sein müssen sondern erst ab einem bestimmten zb N?

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Nein das macht irgendwie keinen Sinn. Wie auch immer.

Worauf ich hinaus will: Mit der obigen Abschätzung gilt:

$$ \sum_{n=0}^{\infty}|a_n|^2 \leq \sum_{n=0}^{N-1} |a_n|^2 + \sum_{n=N}^{\infty} |a_n| $$

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Asoo so meinst du das dann ist der erste Teil der rechten Seite endlich und der 2te Teil ebenso da wir Vorausgesetzt haben an sei absolut konvergent und somit auch konvergent .
Und somit auch an^2 .

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Ja genau so sieht es aus. Dieses "und somit auch konvergent" kannst du weglassen.

Answer 2

$$a_n=\frac{1}{n}$$ und $$b_{2n}:=\frac{-1}{\sqrt{n}}$$ $$b_{2n+1}:=\frac{1}{\sqrt{n}}$$