ich möchte das ein wenig anders formulieren.
Die sogenannten pq-, abc- oder Mitternachtsformeln sind alle im Grunde genommen über die quadratische Ergänzung herzuleiten, d.h. eine quadratische Formel kann man immer versuchen mit quadratischer Ergänzung zu lösen. Die Formeln sind nur "Abkürzungen" für ein bestimmtes Aussehen der Gleichung.
pq- und abc-Formel mithilfe der quadratischen Ergänzung hergeleitet:
$$ \begin{aligned} 0 &=& x^2 + px +q \\ 0 &=& x^2 + px + \overbrace{\left( \frac{p}{2} \right) ^2 - \left( \frac{p}{2} \right)^2}^{quadr. Erg.} +q &&\qquad \vert +\left( \frac{p}{2} \right)^2 -q \\ \left( \frac{p}{2} \right)^2 -q &=& x^2 + px + \left( \frac{p}{2} \right)^2 &&\qquad \vert \text{Bin.Formel}\\ \left( \frac{p}{2} \right)^2 -q &=& \left( x+\frac{p}{2} \right)^2 \\ \left( x+\frac{p}{2} \right)^2 &=& \left( \frac{p}{2} \right)^2 -q && \qquad \vert \sqrt{} \\ x+\frac{p}{2} &=&\pm \sqrt{\left( \frac{p}{2} \right)^2 -q} &&\qquad \vert -\frac{p}{2} \\ x &=& - \frac{p}{2}\pm \sqrt{\left( \frac{p}{2} \right)^2 -q} \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} 0 &=& ax^2 + bx +c &&\qquad \vert :a\\ 0 &=& x^2 + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a} \\ 0 &=& x^2 + \frac{b}{a}x + \overbrace{\left( \frac{b}{2a} \right) ^2 - \left( \frac{b}{2a} \right)^2}^{quadr. Erg.} +\frac{c}{a} &&\qquad \vert +\left( \frac{b}{2a} \right)^2 -\frac{c}{a} \\ \left( \frac{b}{2a} \right)^2 -\frac{c}{a} &=& x^2 + \frac{b}{a}x + \left( \frac{b}{2a} \right)^2 &&\qquad \vert \text{Bin.Formel}\\ \left( \frac{b}{2a} \right)^2 -\frac{c}{a} &=& \left( x+\frac{b}{2a}\right)^2 \\ \left( x+\frac{b}{2a} \right)^2 &=& \left( \frac{b}{2a} \right)^2 -\frac{c}{a} && \qquad \vert \sqrt{} \\ x+\frac{b}{2a} &=&\pm \sqrt{\left( \frac{b}{2a} \right)^2 -\frac{c}{a}} &&\qquad \vert -\frac{b}{2a} \\ x&=& - \frac{b}{2a}\pm \sqrt{ \frac{b^2}{4a^2} -\frac{4ac}{4a^2}} &&\qquad \vert -\frac{p}{2} \\ x&=& - \frac{b}{2a}\pm \sqrt{ \frac{b^2-4ac}{4a^2}} &&\qquad \vert -\frac{p}{2} \\ x&=& - \frac{b}{2a}\pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a} &&\qquad \vert -\frac{p}{2} \\ x&=& \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} &&\qquad \vert -\frac{p}{2} \end{aligned} $$
Jetzt kann man sich noch überlegen, dass aus
$$0= x^2 + px + q =x^2 + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a}= ax^2 + bx +c $$
folgt
$$ \begin{aligned} p &=& \frac{b}{a}\\ q &=& \frac{c}{a} \end{aligned} $$
und man somit auch von der abc-Formel ohne Probleme auf die pq-Formel umformen kann.
D.h. falls man die quadratische Ergänzung beherrscht, braucht man sich um die anderen Formeln keine Sorgen machen, denn man kann sie jederzeit herleiten. Andersherum ist das schon schwieriger.
Gruß
