Unterschied zwischen Quadratischer Gleichung und Quadratischer Funktion?

Question

Wo liegt der Unterschied zwischen den Begriffen "Quadratische Funktion" und "Quadratische Gleichung"?

Unser Klassenlehrer verwendet meist Funktion, doch spricht (gleichzeitig!) von der Gleichung! Worin besteht denn nun der wirkliche Unterschied?

Answer 1

Eine quadratische Gleichung wird in folgender Form (Allgemeinform) notiert:

a·x² + b·x + c = 0

Wobei a, b und c für beliebige Zahlen stehen.

Eine quadratische Funktion notieren wir hingegen in der Form:

f(x) = a·x² + b·x + c = y

Wie wir in der entsprechenden Lektion zu Quadratischen Funktionen gelernt haben, beschreibt die quadratische Funktion einen Graphen im Koordinatensystem. Die quadratische Gleichung hingegen setzt die Funktionsgleichung null, sodass wir deren Nullstellen berechnen können.

Anders ausgedrückt:

Für die Funktion können wir unendlich viele x-Werte einsetzen und erhalten jeweils einen y-Wert als Lösung. Bei der quadratischen Gleichung erhalten wir zwei Werte, einen Wert oder keinen Wert für x als Lösung (siehe auch Mathe-Video Teil 6). Wir suchen bei der Gleichung also nach den x-Werten, für die die vorliegende Gleichung erfüllt ist ("Lösungsmenge").

Als quadratische Gleichung können wir also jede Gleichung bezeichnen, bei der ein x² als höchste Potenz vorkommt. Zum Beispiel: 3x + 2 = x². Diese Gleichung könnten wir jetzt umformen zu 0 = x² - 3x - 2 und von dieser Form (Normalform) ausgehend die p-q-Formel anwenden, um die beiden Lösungen für x auszurechnen. Das entspricht dem Sachverhalt, dass wir für eine Funktion f(x) = x² - 3x - 2 die Nullstellen ermitteln.

Answer 2

Der Unterschied zwischen einer "quadratischen Funktion" und einer "quadratischen Gleichung" liegt hauptsächlich in ihrem Konzept und Verwendungszweck. Hier ist eine ausführliche Erklärung:

Quadratische Funktion

Eine quadratische Funktion ist eine mathematische Funktion, die durch eine Gleichung der Form $$ f(x) = ax^2 + bx + c $$ beschrieben wird, wobei \( a \), \( b \) und \( c \) konstante Zahlen sind und \( a \neq 0 \). Die Variable \( x \) steht für die unabhängige Variable oder Eingangsgröße, und \( f(x) \) ist die abhängige Variable oder Ausgangsgröße.

Diese Funktion ordnet jedem Wert von \( x \) einen Wert von \( f(x) \) zu und beschreibt somit eine Parabel in einem Koordinatensystem. Der wichtigste Punkt hier ist, dass die Funktion eine Beziehung zwischen zwei Mengen beschreibt und grafisch dargestellt wird. Die Koeffizienten \( a \), \( b \) und \( c \) bestimmen die Form und Lage der Parabel.

Quadratische Gleichung

Eine quadratische Gleichung ist eine Gleichung, die die Form $$ ax^2 + bx + c = 0 $$ hat, wobei \( a \), \( b \), und \( c \) ebenfalls Konstanten sind und \( a \neq 0 \). Hier ist das Ziel, Werte von \( x \) zu finden, die die Gleichung erfüllen. Diese Werte werden als Lösungen oder Wurzeln der Gleichung bezeichnet.

Die Lösung einer quadratischen Gleichung kann durch die quadratische Formel gefunden werden:

$$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$

Diese Formel gibt die Punkte an, an denen die Parabel der quadratischen Funktion die \( x \)-Achse schneidet, das heißt, die Werte von \( x \), für die \( f(x) = 0 \) gilt.

Zusammenhang und Unterschied

Der Hauptunterschied liegt in der Perspektive und Anwendung:

- Eine quadratische Funktion ist ein allgemeiner Ausdruck, der zur Beschreibung einer Beziehung dient und viele mögliche Werte \( f(x) \) für jedes \( x \) liefert. Sie ist nützlich in der Analyse von Bewegungen, wirtschaftlichen Modellen, und vielen anderen Bereichen, wo Veränderungen untersucht werden.

- Eine quadratische Gleichung stellt eine spezielle Situation dar, in der man die spezifischen \( x \)-Werte sucht, bei denen die Funktion einen bestimmten Wert (hier 0) annimmt. Es handelt sich also um eine Problemstellung, bei der nach Lösungen für eine bestimmte Bedingung gesucht wird.

Beispiel

Zum besseren Verständnis können wir ein Beispiel betrachten:

- Funktion: \( f(x) = x^2 - 4x + 3 \). Diese Funktion beschreibt eine Parabel.

- Gleichung: \( x^2 - 4x + 3 = 0 \). Wir suchen die \( x \)-Werte, für die \( f(x) = 0 \) gilt.

Die Lösungen der Gleichung finden wir durch:

$$ x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2} \\ x = 3 \text{ oder } x = 1 $$

Diese Werte sind die Nullstellen der Funktion, also die Schnittpunkte der Parabel mit der \( x \)-Achse.

Zusammenfassend kann gesagt werden, dass der Lehrer von beiden Begriffen spricht, weil beide eng miteinander verbunden sind, aber aus unterschiedlichen mathematischen Perspektiven verwendet werden.