Wie löse ich folgende Aufgabe der Finanzmathematik?

Question

Liebe Mitglieder,

ich würde mich freuen, wenn mir jemand erklären könnte, wie ich auf die Lösung, beziehungsweise den Ansatz der folgenden Mathematik-Aufgabe komme. Ich habe mir die Formeln dazu angeschaut und versucht hinter den Zusammenhang zu kommen, es ist mir aber nicht gelungen.

Aufgabe:

Für Sohn Paul werden 18 Jahre lang nachschüssig 1200 Euro auf ein Sparkonto eingezahlt, der Zinssatz beträgt 4,5 %. Nach wie vielen Jahren ist das dem Sohn ausbezahlte Kapital bei einer jährlichen nachschüssigen Auszahlung von 5000 Euro aufgebraucht?

Lösung:

$$ 5000*\frac { { 1,045 }^{ n }-1 }{ 0,045 } =32226,1*{ 1,045 }^{ n } $$

Die Lösung lautet nacher 8 Jahre.

Ich dachte man müsste den Barwert der Rente, also 32226,1 Euro direkt in einer Gleichung mit den 5000 Euro in Beziehung setzen. Ich sehe den Zusammenhang in der obigen Gleichung nicht.

Liebe Grüße

Itrazo

Answer 1

Rentenendwert = 1200·(1.045^18 - 1)/(1.045 - 1) = 32226.10

Zahlungen = LN(5000/(5000 - 32226.10·(1.045 - 1))) / LN(1.045) = 7.782001426

Schau mal ob meine Formeln so richtig sind. Ich mache da gerne mal einen Flüchtigkeitsfehler.

Comments

@Mathecoach: Machst du sehr selten und sicher nicht "gerne" :-)

Answer 2

Während der Rentenzahlung verzinst sich das Kapital weiter. Es liegt eine Äquivalenzgleichung vor.
Beide Endwerte müssen am Ende der Laufzeit gleich sein.  Das ist hier nach ca. 8 Jahren der Fall.

Um die Gleichung zu lösen , würde ich substituieren: 1,045^n = z

Ich komme für n auf 7,78 Jahre.

Comments

Äquivalenzgleichung ist wahrscheinlich das ausschlaggebende Stichwort.

"Beide Endwerte müssen am Ende der Laufzeit gleich sein."

Genau so eine Antwort habe ich gesucht!

Mit dem Gleichsetzen suche ich ja im Prinzip den Schnittpunkt - wann sind die beiden gleich.

Aber woher weiß ich, dass gerade die beiden Gleichungen gleich sein müssen? Wie komme ich auf den Zusammenhang?