Spiegelung an der Einheitssphäre. Df (x) von f (x)=x/|x|^2 mit x € R^n bestimmen.

Question

Kann mir jemand einen hilfreichen Tipp geben.  Wie ich für obige Funktion die Ableitung bilden kann?

Zur besseren Anschauung habe ich mal die ganze Aufgabe angehängt. 

Danke schon einmal

Comments

Wenn ich das richtig sehen, musst du nur zeigen, dass Df(x) mit den verlangten Eigenschaften existiert. 

Bedeutet Diffeomorphismus überhaupt Ableitung? 

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Nein.  Es geht mir hier auch nicht um den, sondern um Teil 2 der Aufgabe

Answer 1

Hi,
mit \( f(x) = \frac{x}{\|x\|_2^2} \) ergibt sich \( f_i(x) = \frac{x_i}{\|x\|_2^2} \) und daraus
$$ \frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x) = \frac {1}{\|x\|_2^2} \left(  \delta_{ij}-2 \frac{x_i x_j}{\|x\|_2^2} \right) $$ mit \( \delta_{ij} \) ist das Kroneckersymbol.
Um die Funktion \( g(x) \) zu bestimmen, wird das Produkt der Spalten der Jacobi-Matrix berechnet, also
$$ \sum_{i=1}^n \left( \frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x) \cdot \frac{\partial f_i}{\partial x_k}(x) \right)  = \frac{1}{\|x\|_2^4} \sum_{i=1}^n \left( \delta_{ij} \delta{ik} - 2\frac{x_j x_k}{\|x\|_2^2} - 2\frac{x_j x_k}{\|x\|_2^2} + 4\frac{\|x\|_2^2 x_j x_k}{\|x\|_2^4} \right) $$ Daraus folgt $$ \sum_{i=1}^n \left( \frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x) \cdot \frac{\partial f_i}{\partial x_k}(x) \right)  = \frac{1}{\|x\|_2^4} \delta_{jk} $$

D.h. man mus \( g(x) = \|x\|_2^4 \) wählen, dann wird \( g(x) Df(x) = I_{n \times n} \)