Hi,
mit \( f(x) = \frac{x}{\|x\|_2^2} \) ergibt sich \( f_i(x) = \frac{x_i}{\|x\|_2^2} \) und daraus
$$ \frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x) = \frac {1}{\|x\|_2^2} \left( \delta_{ij}-2 \frac{x_i x_j}{\|x\|_2^2} \right) $$ mit \( \delta_{ij} \) ist das Kroneckersymbol.
Um die Funktion \( g(x) \) zu bestimmen, wird das Produkt der Spalten der Jacobi-Matrix berechnet, also
$$ \sum_{i=1}^n \left( \frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x) \cdot \frac{\partial f_i}{\partial x_k}(x) \right) = \frac{1}{\|x\|_2^4} \sum_{i=1}^n \left( \delta_{ij} \delta{ik} - 2\frac{x_j x_k}{\|x\|_2^2} - 2\frac{x_j x_k}{\|x\|_2^2} + 4\frac{\|x\|_2^2 x_j x_k}{\|x\|_2^4} \right) $$ Daraus folgt $$ \sum_{i=1}^n \left( \frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x) \cdot \frac{\partial f_i}{\partial x_k}(x) \right) = \frac{1}{\|x\|_2^4} \delta_{jk} $$
D.h. man mus \( g(x) = \|x\|_2^4 \) wählen, dann wird \( g(x) Df(x) = I_{n \times n} \)