Verschiebung von Ganzrationalen Funktionen

Question

Hallo ihr lieben Leute in diesem Forum.

Ich schreibe morgen eine Mathe-Arbeit und um mich vorzubereiten mache ich Aufgaben in unserem Buch, das wie immer keine Lösungen hat. Nun also bin ich bei dieser Aufgabe:

Gegeben sei die Funktion f(x)=1/6x⁴  - 4/3x² - 3/2 , x∈ℝ

a) Wie muss der Graph verschoben werden, damit f genau drei Nullstellen besitzt?

Geben sie die dazugehörige Funktionsgleichung an.

b) Zeigen Sie, dass nach der Verschiebung eine doppelte Nullstelle vorliegt.

Ich glaube, dass die Aufgabe gar keine Lösung haben kann, denn diese Funktion hat nur gerade Exponenten und daher ist sie Symmetrisch zur Y-Achse. Also müsste man sie so verschieben, dass sie die Nullstelle 0 hat und dazu müsste man ja nur die - 3/2 entfernen. Aber ich kann nicht glauben, dass es so einfach ist.

Answer 1

 

es ist aber so:

wenn du die Funktion um 3/2 nach oben verschiebst :

f_v(x) = 1/6x⁴  - 4/3x²  = x² • (1/6x² - 4/3)

x =  oder  1/6 (x² - 8) = 0  also  x= 0  oder x = ±√8

dann hat f_v genau drei Nullstellen und  x=0  ist eine doppelte Nullstelle

Gruß Wolfgang

Answer 2

Gegeben sei die Funktion f(x)=1/6x⁴  - 4/3x² - 3/2 , x∈ℝ

a) Wie muss der Graph verschoben werden, damit f genau drei Nullstellen besitzt?

Wenn ich den Graphen um 3/2 nach oben verschiebe habe ich nur 3 Nullstellen. Davon eine doppelte.

Geben sie die dazugehörige Funktionsgleichung an.

f(x)=1/6x⁴  - 4/3x²

b) Zeigen Sie, dass nach der Verschiebung eine doppelte Nullstelle vorliegt.

f(x) = 1/6·x^4 - 4/3·x^2 = 1/6·x^2·(x^2 - 8)

Comments

Könntest du mir genauer erklären wie du die b) gelößt hast?

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Faktorisiere das Vorliegende Polynom durch ausklammern. Dann kann an x^2 die Doppelte Nullstelle bei 0 direkt abgelesen werden.

Du brauchst den Faktor 1/6 nicht mit ausklammern. Das macht man nur damit der Term möglichst schön aussieht.