h injektiv heißt
wenn h(x) = h(y) dann x = y
aber h(x) = g ( f(x)) und h(y) = g(f(y)) .
wäre f nicht injektiv, dann gäbe es x,y mit f(x)=f(y) und x≠y.
wegen der Eindeutigkeit von g dann aber auch
g ( f(x)) = g(f(y)) und x≠y im Widerspruch zur Inj. von gof.
Also muss f schon mal injektiv sein.
wäre g nicht injektiv, gäbe es a,b aus B mit g(a) = g(b) und a ≠ b.
da g auf ganz B definiert ist, und bei der Komposition keine Einschränkung
gemacht ist, gibt es x aus A mit f(x)=a und es gibt y aus A mit f(y)=b
und wegen der Injektivität von f ( siehe oben) ist x ungleich y. #
und wegen g(a) = g(b) ist auch g(f(x)) = g(f(y)) und wegen der
Injektivität von gof ist dann x=y im Wider spruch zu #.