Komposition Injektivität

Question

f:A -> B

g:B -> C

h:A -> C (h= g o f)

wenn h injektiv ist, müssen f und g injektiv sein

ich weiß, dass f injektiv sein muss und g nicht aber ich versteh das überhaupt

wäre nett wenn mir das jemand erklären könnte , ich blick da überhaupt nicht durch

aber bitte schritt für schritt

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Passend zum Thema habe ich folgende Frage:

Behauptung: wenn g o f injektiv, dann ist f injektiv

Mein Gegenbeispiel ist das folgende:

f: ℝ→ℝ, f(x) = x² ist surjektiv

g: ℝ→ℝ, g(x) = ⁴\( \sqrt{x} \) ist injektiv

h: ℝ→ℝ, mit h = g o f ist dann h(x) = \( \sqrt{x} \) ist injektiv

Damit habe ich eine injektive Komposition der Form h = g o f, aber kein injektives f. Kann mir jemand sagen wo mein Fehler ist? f muss offenbar injektiv sein.

Answer 1

h injektiv heißt

wenn h(x) = h(y) dann x = y

aber h(x) =  g ( f(x)) und  h(y) = g(f(y)) .

wäre f nicht injektiv, dann gäbe es x,y mit f(x)=f(y) und x≠y.

wegen der Eindeutigkeit von g dann aber auch

g ( f(x))  = g(f(y))  und x≠y im Widerspruch zur Inj. von gof.

Also muss f schon mal injektiv sein.

wäre g nicht injektiv, gäbe es a,b aus B mit   g(a) = g(b) und a ≠ b.

da g auf ganz B definiert ist, und bei der Komposition keine Einschränkung

gemacht ist, gibt es x aus A mit f(x)=a und es gibt y aus A mit f(y)=b

und wegen der Injektivität von f ( siehe oben) ist x ungleich y.   #

und wegen g(a) = g(b) ist auch g(f(x)) = g(f(y)) und  wegen der

Injektivität von gof  ist dann x=y im Wider spruch zu #.

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mich verwirrt das total warum denn erst f(g(x)) und dann g(f(x)) ??

kann man das beides in einen beweis erwähnen ??

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Nein, das war Unsinn. Da hatte ich mich vertan.

Ich versuche es nachher neu.

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ok danke

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Jetzt müsste es stimmen.

Answer 2

die Aussage ist in dieser Form nicht richtig und das was du geschrieben hast korrekt.

Einfaches Gegenbeispiel:

\(A = [0,1]\), \(B = [-1,1] \), \(C=[0,1] \)

$$ f(x) = x $$

$$ g(x) = x^2 $$

$$ h(x) = g(f(x)) = x^2 $$

Aufgrund der Wahl der Mengen \(A,B\) und \(C\) sind \(f\) und \(h\) zwar injektiv, aber \(g\) ist es nicht.

Gruß

Comments

da blick ich ja nicht durch wie wie kann von A nach B injektiv ist aber dann von B nach C nicht injektiv.

dann kann doch h nich injektiv sein :/

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Doch, da Injektivität ja auch in erster Linie davon abhängt was der Definitionsbereich deiner Funktion ist!

\(g\) und \(h\) haben dieselbe Funktionsvorschrift, allerdings unterschiedliche Definitionsbereiche, deswegen ist die eine Funktion für sich genommen nicht injektiv (\(g\)) und die andere schon (\(h\)).

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sorry aber ich verstehe das überhaupt nicht mich verwirrt das total

was ist denn wenn alle die gleiche abbildungsvorschrift haben ???

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muss nicht bei der Verkettung alles zusammen passen ?

Also f(A) = B sein, damit Verkettung definiert ?

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und zweites bei deinem Beispiel wie soll f injektiv sein wenn es von x nach x^2 geht ?? dann ist es nicht injektiv

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Hab mal nachgesehen. Yakyu hat (m al wieder) recht. Es muss nicht f(A) = B sein
(wie bei meiner Argumentation).

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Mach dir bitte klar was Injektivität bedeutet und dann was du eigentlich fragen möchtest. Wenn du eine Frage zur Injektivität hast dann formulier sie bitte. Sowas wie "ich verstehe das überhaupt nicht" hilft mir nicht dabei dir zu helfen ;).

"Alle dieselbe Abbildungsvorschrift"

Das würde aber das Beispiel doch komplett verzerren.

Oh da ist ja einiges geschehen während ich das geschrieben habe.

\(f\) geht nicht "von x nach x^2" sondern bildet das Intervall \([0,1]\) auf sich selbst ab!

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f geht von A nach B hat aber die Vorschrift f(x)=x
Also wird A nur auf den Bereich [0;1] abgebildet, also kommt nicht
jedes Element von B als Funktionswert von f vor.
Und für diejenigen ,  ist die Einschränkung von g injektiv, und
damit auch die Verkettung  gof .

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wie haben die injektivität so definiert

wenn für alle x,y aus A  mit f(x) = f(y) folgt x=y von f -> g verstehe ich ja

aber wenn g nicht injektiv ist bedeutet das für g(x)= g(y) folgt x ungleich y

aber wenn wir wissen das h: A->C und g nicht injektiv ist

wie können dann zwei gleiche werte bei B gleich sein aber in C nicht.

hoffentlich versteht ihr was ich meine

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oder ist das egal was in b passiert ??

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\(f\) bildet nicht auf ganz \(B\) ab!

Warum ist in meinem Beispiel \(f\) injektiv

aber \(g\) nicht? Wie müsstest du die Menge \(B\) anpassen, damit \(g\) injektiv wäre?

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was meinst du damit ??

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Versuch mal die Fragen zu beantworten. Dein Verständisproblem beruht darauf, dass du irgendwelche falschen Vorstellungen hast.

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wenn 0,1 aus A  mit x ungleich y dann muss ja f(0) auch ungleich f(1) sein

0 ungleich 1 also mit injektiv

bei g(-1) = -1^2 =1

g(1) = 1

somit kann es nicht injektiv sein

bei g muss zb dann bei dem Definitionsbereich nur die Natürlichen Zahlen betrachtet werden dann ist g auch injektiv

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Die Mengen die ich angegeben habe sind eigentlich Intervalle......

Wenn also \(B=[0,1]\) wäre, dann wäre \(g\) injektiv (hast du selber festgestellt).

Nun ist aber der Definitionsbereich von \(h\) aufgrund von \(f\) ja gerade \([0,1]\). Also ist \(h\) injektiv!

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da blick ich wieder nicht durch wenn g injektiv ist ist auch h injektiv ok aber wenn g nicht injektiv ist kann h ja nicht injektiv sein weil die Funktion von h auch x^2

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Wie oft denn noch ^^ \(g\) und \(h\) sind NICHT dieselbe Funktion. Sie haben zwar dieselbe Abbildungsvorschrift aber unterscheiden sich durch den DEFINITIONSBEREICH.

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oh man sorry ich versteh es nicht. ich weiß nicht warum

egal schon gut trotzdem danke

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Mal dir doch bitte mal in ein Koordinatensystem die Funktionen \(f,g\) und \(h\) wobei du jeweils nur den Definitionsbereich verwendest. Dann wird dir der Unterschied vielleicht klar.