Injektivität von Abbildungen und Komposition

Question

Wir betrachten die Abbildungen

 f : ℤ → ℤ,  z → 3z + 2

und

g : ℤ→ ℤ × ℤ,  z → (z, z² − 12z − 49).

1. Zeigen Sie, dass g injektiv ist .

2. Geben Sie die Komposition von f und g an.

Kann mir jemand die Aufgabe lösen und eventuell ein klein wenig erklären :X..

Answer 1

Für die Injektivität von f musst du zeigen, dass für z₁ , z₂  ∈ ℤ   gilt  z₁ ≠ z₂  ⇒  f(z₁) ≠ f(z₂).

z₁ ≠ z₂    | * 3

⇔  3z₁  ≠  3z₂   |  + 2

⇔  3z₁ + 2  ≠  3z₂ + 2

⇔  f(z₁)  ≠  f(z₂)

2)

Durch die Komposition g o f  wird  z zuerst f(z) = 3z+2  zugeordnet. Danach muss 3z+2 für z in die Vorschrift von g eingesetzt werden:

g o f : ℤ → ℤ x ℤ ;  g o f (z)  =  g(f(z))  =  g( 3z + 2 )  

=  ( 3z + 2  ,  [3z + 2]² - 12 * [3z + 2] - 49 )  =  ( 3z + 2  ,  9z² - 24z - 69 )

Gruß Wolfgang