Ebene steht normal auf g und enthält P(5| y| z). Ebenengleichung bestimmen .

Question

Hallo ich habe folgende Aufgabenstellung gegeben:

Meine erste Frage ist mit x=5 dieser Parameter t gemeint ( t∈ℝ) ?

Zweitens  wenn ja lässt sich r(t) einfach bestimmen indem man einsetzt und ausrechnet .Jedoch wie komme ich aud die ebenenGleichung gibt es da eine bestimmte Formel?

Bitte um Hilfe . Danke !

Answer 1

[1, -4, 2] + r·[1, 2, 0] = [5, y, z] --> y = 4 ∧ z = 2 ∧ r = 4

E: X * [1, 2, 0] = [5, 4, 2] * [1, 2, 0] --> x + 2y = 13

Comments

Danke für die Antwort !
Ich habe mir das selbst nochmal aufgschrieben um die zwischenschritte zu verstehen und hab da eine Frage :mit E:X*[1,2,0] ist das eine bestimmte formel? Bzw. wie kommt man darauf?

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Das ist das Skalarprodukt

[x, y, z] * Normalenvektor

Die Normalenform lautet

(X - P) * N = 0

Ich multipliziere das mal aus

X * N - P * N = 0

X * N = P * N

So schreibe ich das immer auf und multipliziere das gleich aus.

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Ah ok ! Und für P meinst du den Punkt der auf der Ebene liegt den wir gerade eben errechnet haben nämlich (5,4,2) ?

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Ja genau. Völlig richtig.

Man braucht immer nur einen Punkt und einen Normalenvektor um die Koordinatenform aufzustellen.

PS. Ich verwende die Normalenform eigentlich nie, es sei denn irgendein Lehrer besteht darauf. Aber eigentlich ist die Normalenform nicht Nötig und hat eventuell nur in der Herleitung eine Daseinsberechtigung :)

Answer 2

mit x = 5  ergibt sich in der 1. Koordinate von g  1+ t • 1 = 5  →  t = 4  für den Ebenenpunkt  auf der Geraden.

→  ( 1 | -4 | 2) + 4 • (1 | 2| 0)  = (5  | 4 | 2)  ist ein Punkt der Ebene.

Der Normalenvektor  ist der Richtungsvektor der Geraden.

e: \( \begin{pmatrix} 1\\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}\) • \(\vec{x}\)  -  \( \begin{pmatrix} 1\\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}\) • \( \begin{pmatrix} 5\\ 4\\ 2\end{pmatrix}\) = 0

 ⇔   \( \begin{pmatrix} 1\\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}\) • \(\vec{x}\)  -  13  = 0

Gruß Wolfgang

Comments

Vielen Dank das hat mir gut geholfen ! Bzw. das von Mathecoach besser zu verstehen !