Krümmungsverhalten berechnen. f ''(x) = 2/5 x^3 - 8/5 x

Question

Wie bekomme ich hier jetzt rechnerisch heraus, was für eine Krümmung vorliegt?

Comments

Aus deinem handschriftlichen lese ich die Funktion

f ´´( x ) = 2/ (5·x³ ) - 8/ (5·x )

Dies könnte also zu Mißverständnissen führen.

Answer 1

Wir faktorisieren den Term über Ausklammern und 3. binomische Formel

f''(x) = 2/5·x^3 - 8/5·x = 2/5·x·(x + 2)·(x - 2)

Wir erkennen drei Einfache Nullstellen bei -2, 0 und 2

Da die Funktion 3. Grades vom 3. in den 1. Quadranten verläuft können wir das Krümmungsverhalten wie folgt notieren

]-∞ ; -2[ --> rechtsgekrümmt

]-2 ; 0[ --> linksgekrümmt

]0 ; 2[ --> rechtsgekrümmt

]2 ; ∞[ --> linksgekrümmt

Wir integrieren zur Probe

f(x) = x^5/50 - 4·x^3/15

Möglicher Kurvenverlauf

Comments

Ja aber woher weisst du denn ohne ein Bild, dass -unendlich;2 rechtsgekrümmt ist, was hast du gerechnet?

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Kennst du das Verhalten der Funktion f''(x) = 2/5·x³ - 8/5·x für x gegen unendlich ?

Der Graph verläuft von minus unendlich nach plus unendlich.

Bei negativ unendlich haben wir also einen negativen Wert und daher eine Rechtskrümmung.

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Gibt es dafür denn keinen einfacheren Weg? Finde das recht kompliziert, weil das ja für vier Intervalle gemacht werden muss.

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Nein. Du kennst damit das Verhalten im ersten Intervall von minus unendlich und im größten Intervall von plus Unendlich. Da du Nullstellen mit vorzeichenwechsel hast ändert sich an jeder Nullstelle das Krümmungsverhalten.

Ist es also in einem Intervall rechtgekrümmt ist es im anschließenden Intervall linksgekrümmt.

Du brauchst dort wirklich überhaupt nichts zu rechnen.

Such dir eventuell noch ein paar Aufgaben zu dem Thema raus und probiere das.

Answer 2

Klammere mal \(\frac25 x\) aus, wende die dritte binomische Formel an und lies die Nullstellen von \(f''\) ab. Es sind lauter einfache Nullstelen, dort wechselt also \(f''\) das Vorzeichen und \(f\) die Krümmungsrichtung. Das sollte genügen, den Krümmungsverlauf qualitativ zu beschreiben.

Answer 3

f '' (x) = 2/5 ·x·(x + 2)·(x - 2)

die Nullstellen  von f '' sind  x = -2 ∨ x = 2 ∨ x = 0 jeweils mit Vorzeichenwechsel

→ Krümmungsintervalle:

] -∞; -2]     Rechtskrümmung   (z.B. f(-10) < 0)

[ -2;0] ;         LK

[ 0; 2]             RK

[2 ;∞[            LK

Gruß Wolfgang

Comments

Zitat:

die Nullstelle von f '' ist  x=0  

→   Krümmungsintervalle  ] -∞;0 ] ,  [0;∞[

Jetzt setzt du in jedem Invall einen x-Wert ein. Dessen Vorzeichen bestimmt die Art der Krümmung im Intervall.

Das ist in mehrfacher Hinsicht so nicht akzeptabel. Zum einen müssen alle Nullstellen mit Vorzeichenwechsel von \(f''\) herangezogen werden, um die Krümmungsintervalle von \(f\) zu bestimmen, und zum anderen muss man nicht aus jedem Intervall einen x-Wert einsetzen, um die Krümmung zu ermitteln.

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Du hast recht, danke. Ich hatte übersehen, dass f '' und nicht f gegeben ist.
Habe die Antwort korrigiert !

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Ja, so könnte die Argumentation aussehen, danke!

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Ich danke dir!, Ich mag es nicht, wenn solche gravierenden Flüchtigkeitfehler in meinen Antworten verbleiben, vor allem, wenn sie nicht als FF erkennbar sind (denn das Netz vergisst nie etwas :-))

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Meine Einstellung zu Fehlern in den Antworten :

Jeder macht Fehler. Ob du oder ich oder sonst wer.
Nur fehlerfreie Antworten hier einzustellen hat bisher
noch niemand geschafft.

Wenn ich auf einen Fehler oder vermeintlichen Fehler
hingewiesen werde sehe ich das eher positiv.
Dem kann man nachgehen.
Ist ein Fehler vorhanden kann er ja korrigiert werden.

Ich lasse allerdings die Originalantwort so stehen
damit andere auch den Verlauf der Diskussion nachvollziehen
können. Ich halte dies für besser.

Falls ich nicht zu weitschweifig werden sollte :
Ich bin Programmierer
5 % meiner Arbeitszeit besteht aus kreativer Tätigkeit
( Ausdenken von Lösungen )
35 % aus dem Schreiben des Programmablaufs / Quelltextes
60 % das Ganze auf Fehler zu untersuchen und hinzubekommen.
Diese Einteilung dürfte auf alle Programmierer zutreffen.

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@Georgborn:

Da der Kommentator das Wesentliche, was er mit Recht bemängelt hat, zitiert hat, wurde die Diskussion nicht beeinträchtigt.Versuche bei Korrekturen immer, das sicherzustellen.

Wünsche dir frohe Weihnachten

Gruß Wolfgang

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Auch dir angenehme Feiertage.

Hier zur Erheiterung eine Matheaufgabe im Wandel der Zeit

mfg Georg