Primfaktorzerlegung: n immer Quadratzahl bei geraden Exponenten

Question

ich brauche bei folgender Aufgabe Hilfe:

Sei \( n \in \mathbb{N} \) mit Primfaktorzerlegung \( n=p_{1}^{k_{1}} \cdot \ldots \cdot p_{m}^{k_{m}} \) gegeben, wobei \( p_{1}, \ldots, p_{m} \in \) \( \mathbb{P}, k_{1}, \ldots, k_{m} \in \mathbb{N} . \)

Zeigen Sie, dass \( n \) eine Quadratzahl ist, genau dann wenn alle Exponenten \( k_{i} \) gerade sind.

Wenn die Exponenten gerade sind, kann ich die Gleichung ja ändern zu:

n = p₁^2k₁ · p₂^2k₂ ·...· p_m^2k_m

Wie ich damit jetzt zeigen soll, dass n eine Quadratzahl ist weiß ich aber nicht.

Answer 1

hast du doch schon:

n = p₁^2k₁ · p₂^2k₂ ·...· p_m^2k_m  = (  p₁^k₁ · p₂^k₂ ·...· p_m^k_m )  ^2  also Quadratzahl.

Comments

Dann brauchst du n och die Umkehrung.
sei n Quadratzahl, dann gibt es k aus IN mit k^2 = n
Bilde eine Primfaktorzerlegung von k und quadriere sie, dann hast du eine von
n und die hat lauter gerade Exponenten. Und wegen der Eindeutigkeit der PFZ
gibt es keine andere.

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Also

k   = (p₁·...·p_m)
k² = (p₁·...·p_m)²

n = p₁²·...·p_m²