Absolute Konvergenz einer Reihe: Summanden (-1)^n * 1/n * (1/3 + 1/n)^n

Question

;-)

Ich komme irgendwie bei der Aufgabe nicht ganz weiter und wollte deshalb fragen ob mir jemand eventuell einen Hinweis geben könnte :D

Ich soll bei der Reihe 
$$\sum _{ n=1 }^{ \infty  }{ { (-1) }^{ n }*\frac { 1 }{ n }  } *{ \left( \frac { 1 }{ 3 } +\frac { 1 }{ n }  \right)  }^{ n }$$
zeigen, dass sie absolut konvergiert.

Wenn sie absolut konvergieren soll, heißt das ja, dass 
$$\sum _{ n=1 }^{ \infty  }{ \left| { (-1) }^{ n }*\frac { 1 }{ n } *{ \left( \frac { 1 }{ 3 } +\frac { 1 }{ n }  \right)  }^{ n } \right|  } =\sum _{ n=1 }^{ \infty  }{ \frac { 1 }{ n } *{ \left( \frac { 1 }{ 3 } +\frac { 1 }{ n }  \right)  }^{ n } }   $$
konvergiert, habe (-1)^n weggelassen, da es beim Betrag ja wegfallen müsste^^

Ich bin der Meinung, man müsste diese Aufgabe über das Majorantenkriterium lösen können, komme jedoch danach nicht weiter ... 

Deshalb hoffe ich, dass mir jemand einen Hinweis geben könnte :-)


Lipsen

Answer 1

Für alle \(n>1\) gilt$$\left\vert(-1)^n\cdot\frac1n\cdot\left(\frac13+\frac1n\right)^{\!n}\right\vert<\frac11\cdot\left(\frac13+\frac12\right)^{\!n}=\left(\frac56\right)^{\!n}.$$

Comments

. . . war klar das ich nicht an so etwas simples denke ... danke :D