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Unterschied zwischen absoluter und bedingter Konvergenz
Eine Reihe \(\sum a_n\) ist
absolut konvergent, wenn die Reihe der Absolutbeträge \(\sum |a_n|\) konvergiert. Eine Reihe ist
bedingt konvergent, wenn die Reihe \(\sum a_n\) konvergiert, aber die Reihe \(\sum |a_n|\) nicht konvergiert.
Analyse der gegebenen Reihe
Betrachten wir die Reihe \(\sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{n^{2}+2}{2(n^{2})!+3}\).
Um die absolute Konvergenz zu überprüfen, untersuchen wir die Reihe der Absolutbeträge:
\(
\sum \limits_{n=0}^{\infty} \left| \frac{n^{2}+2}{2(n^{2})!+3} \right|
\)
Da die Terme \(\frac{n^{2}+2}{2(n^{2})!+3}\) für alle \(n\) nicht negativ sind, ist der Betrag unnötig, und es bleibt nur:
\(
\sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{n^{2}+2}{2(n^{2})!+3}
\)
Um die Konvergenz dieser Reihe zu prüfen, verwenden wir den Quoten- oder Wurzeltest. Hier scheint der
Quotientest am einfachsten.
Quotientest
Wir berechnen den Grenzwert des Verhältnisses aufeinanderfolgender Terme:
\(
\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|
\)
Für \(a_n = \frac{n^{2}+2}{2(n^{2})!+3}\) ergibt sich:
\(
a_{n+1} = \frac{(n+1)^{2}+2}{2((n+1)^{2})!+3}
\)
Nun der Quotient:
\(
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\frac{(n+1)^{2}+2}{2((n+1)^{2})!+3}}{\frac{n^{2}+2}{2(n^{2})!+3}} = \frac{(n+1)^{2}+2}{2((n+1)^{2})!+3} \cdot \frac{2(n^{2})!+3}{n^{2}+2}
\)
Diese Ausdrücke können schwierig direkt auszuwerten sein, daher beurteilen wir die Asymptotik der Terme im Verhältnis. Betrachten wir das Verhalten der Fakultätsterme:
Für große \(n\) dominiert der Faktor \((n^{2})!\) im Nenner, weil Fakultäten sehr schnell anwachsen. Also nähern wir die Terme an und vereinfachen die Asymptotik nutzen:
\((n^2)! \approx ((n+1)^2)! \quad \text{für große } n\)
Daher wird der Quotient:
\(
\frac{(n+1)^{2}+2}{2((n+1)^{2})!+3} \approx \frac{n^2 \text{ oder höherer Term}}{2(n^2 \text{ oder höherer Term)}} \rightarrow \text{ Bruch geht gegen 0}
\)
Da \(\frac{a_{n+1}}{a_n}\) gegen 0 geht, konvergiert die Reihe \(\sum \frac{(n^2 + 2)}{2(n^2)!+3}\) absolut.
Schlussfolgerung
Die Reihe \(\sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{n^{2}+2}{2(n^{2})!+3}\) ist absolut konvergent, da die Reihe der Beträge konvergiert.
