Doppelbruch mit drei Brüchen 1/(x + 1/(x+ 1/(x+1)))

Question

Sehr geehrte Mathelounge Mitglieder.

Ich komme mit dieser Rechnung einfach nicht klar. Habe schon alles probiert. Schlussendlich sollte ich die Brüche mit gegenseitigem Kehrwert multiplizieren. Doch irgendwie bekomme ich immer komische Zähler. Könnt ihr mir vielleicht helfen?

Answer 1

1/(x + 1/(x + 1/(x + 1)))

= 1/(x + 1/((x^2 + x + 1)/(x + 1)))

= 1/((x^3 + x^2 + 2·x + 1)/(x^2 + x + 1))

= (x^2 + x + 1)/(x^3 + x^2 + 2·x + 1)

= (x^2 + x + 1)/(x^3 + x^2 + 2·x + 1)

Die Frage ist was das einem jetzt so nützt

Answer 2

Wenn du in dem Term \( x+ \frac{1}{x+1} \) das \( x \) auf den Nenner \( x+1 \) erweiters, dann bekommst du \( \frac{x\cdot(x+1)}{x+1} + \frac{1}{x+1} \), was sich mit Bruchrechenregeln zu \( \frac{x\cdot(x+1)+1}{x+1} \) addieren lässt. Multipliziert man den Zähler aus, so bekommt man \( \frac{x^2+x+1}{x+1} \).

Wegen \( x+ \frac{1}{x+1} = \frac{x^2+x+1}{x+1} \) ist \( \frac{1}{x+ \frac{1}{x+1}} = \frac{1}{\frac{x^2+x+1}{x+1}} = \frac{x+1}{x^2+x+1} \).

Aus dem Term \( \frac{1}{x+ \frac{1}{x+1}} \) mit zwei Bruchstrichen ist also der Term \( \frac{x+1}{x^2+x+1} \) mit nur noch einem Bruchstrich geworden.

Answer 3

hier noch einmal mit Bruchstrichen   (zum Teil schief, mein erster Versuch :-) :

Bei jedem Schritt bringt man immer  x + 1/N  auf   B= (x*N +1) / N .

Dann ergibt  1/B den Kehrwert von B.

Dabei fängt man unten bei dem letzten Bruch an.

Gruß Wolfgang

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Herzlichen Dank! Hat mir sehr geholfen