Ist die Funktion differenzierbar? f(x)={x^2 x<1; 3x-2, x>=1

Question

Wie kann ich die differenzierbarkeit von dieser Funktion untersuchen ?

f(x)={x^2 x<1;  3x-2, x>=1

Answer 1

Betrachte den Differenzenquotienten an der Stelle \(x_0=1\):$$\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}h=\begin{cases}2+h,&\text{falls }h<0\\3,&\text{falls }h>0.\end{cases}$$Der Grenzwert für \(h\to0\) existiert nicht.

Answer 2

f(x)={x² x<1;  3x-2, x>=1

Stetigkeit
x >= 1 : f ( 1 ) = 3 * 1 - 2 = 1
x < 1 : f ( 1 ) = 1^2 = 1
Die Funktion ist stetig

Ableitungen
x >= 1 : f ´ (x ) = 2 * x
f ´( 1 ) = 2 * 1 = 2
x < 1 : f ´( x ) = 3

Die Steigungen sind unterschiedlich.
Die Funktion ist nicht differenzierbar.

~plot~ ( x < 1 ) * x*x + ( x > 1 ) * (3*x -2 ) ; ; [[ 0|2|0|2]] ~plot~