Für den rechtsseitigen Grenzwert des Differenzenquotienten von f ( x )
an der Stelle x0 = 0 gilt:
$$\lim _{ x\searrow 0 }{ \frac { f(x)-f({ x }_{ 0 }) }{ x-{ x }_{ 0 } } = } \frac { -3x-0 }{ x-0 } =-3$$
und für den linksseitigen Grenzwert:
$$\lim _{ x\nearrow 0 }{ \frac { f(x)-f({ x }_{ 0 }) }{ x-{ x }_{ 0 } } = } \frac { 2x-0 }{ x-0 } =2$$
Der rechtsseitige Grenzwert stimmt also an der Stelle x0 = 0 nicht mit dem linksseitigen Grenzwert an dieser Stelle überein und daher existiert der Grenzwert
$$\lim _{ x\rightarrow 0 }\frac { f(x)-f({ x }_{ 0 }) }{ x-{ x }_{ 0 } }$$
an der Stelle x0 = 0 nicht. Das aber bedeutet, dass f ( x ) an dieser Stelle nicht differenzierbar ist.
