Eigenwerte und Eigenräume

Question

habe folgende Aufgabe und komme einfach nicht weiter!:

Es sei X := span{sin, cos, exp, x ↦ 1, x ↦ x}  und
R: X →X, f ↦ f

 Geben Sie zu R zwei Eigenwerte und jeweils eine Basis der zugehörigen Eigenräume an.

Habe mir nun folgendes überlegt:

sin ↦ cos, also gilt sin x = cos x für x = π/4. dann gilt für die Basis {π/4}.

Stimmt das? Wie gehe ich am geschicktesten an die Aufgabe ran? Was ist ein weiteres Bsp.? Wie komme ich darauf?

Comments

Hast Du \(R\) ueberhaupt richtig aufgeschrieben? Das waere in Deiner Notation schlicht die Identitaet auf \(X\).

Ansonsten ist Dein \(\pi/4\) voelliger Quatsch. \(X\) besteht nicht aus Zahlen, sondern aus den Linearkombinationen der angegebenen Funktionen.

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ok. 
sorry muss f ↦ f' heissen.

Wie gehe ich dann vor?

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Gesucht sind Funktionen \(f\ne0\) aus \(X\) und eine Zahl \(\lambda\), so dass \(R(f)=\lambda f\) wird, d.h. es muss \(f'=\lambda f\) gelten.

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Ok danke, be1255.

Dann wäre doch λ=1 für e^x = λ e^x ein Eigenwert. Ein weiterer wäre dann: λ=1/x für  x ↦ 1 !?!

Bin ich soweit richtig?

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Das erste stimmt, \(\lambda=1\) ist ein Eigenwert und \(\exp\) ist ein Eigen"vektor" dazu. Das zweite ist wieder Bloedsinn. \(\lambda\) ist eine relle (oder komplexe) Zahl, keine Funktion von \(x\).

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ok alles klar.

wenn also v als v = λ1 cos + λ2 sin + λ3 e^x + λ4 x +  λ5 x  schreiben kann, dann ist

R(v) = - λ1 sin + λ2 cos + λ3 e^x + λ4  +  λ5 x schreiben, aber wie erhalte ich einen weitere Eigenwert?

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Ist dann: Basis vom  Eig(R, 1)  = span  {exp}, da λ=1 ein EW und exp ein EV dazu ist, richtig?

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Ja.

Fuer weitere Eigenwerte und Vektoren kannst Du die allgemeine Lösung von \(f'=\lambda f\) betrachten und dann schauen, was davon in \(X\) drin ist.

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habe mich jetzt mal dem cos ↦ - sin angenährt, habe als Eigenwert λ=cos(2π) + i*sin(2π). Basis dieses Eigenraums wäre dann span {cos}.

Und für sin ↦ cos wäre der EW  λ=cos(2π) + i*sin(2π), also ist die Basis nicht nur span {cos}, sondern span {cos, sin}!?!

Weiter gehts mit x ↦ 1. EW ist meiner Meinung nach λ=cos(2π) + i*sin(2π), somit ist Basis dieses Eigenraums {cos, sin, x}, wobei hier auch x ↦ x gilt, da cos(2π) + i*sin(2π) = 1. Somit ist gibt es eigentl. nur die Basis {cos, sin, x, exp} oder bin ich da falsch!?!

Zum Eigenraum mit λ=1 nochmal : wäre bei der Basis genau genommen nicht noch das x ↦ x dabei, also wäre die Basis dann: span {exp, x} ?!?

Vielen Dank schonmal und einen Guten Rutsch!!!!

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Die allgemeine Lösung von \(f'=\lambda f\) ist \(f(x)=Ce^{\lambda x}\). Man findet die beiden reellen Eigenwerte \(\lambda_1=1\) und \(\lambda_2=0\) mit den zugehoerigen Eigenvektoren \(\exp\) und \(x\mapsto1\). Wenn man alles komplex betrachtet, geht es weiter mit \(\lambda_3=i\) mit Eigenvektor \(\cos+\,i\sin\) und \(\lambda_4=-i\) mit Eigenvektor \(\cos-\,i\sin\). Mehr gibt's nicht.

Prost Neujahr!

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Danke erstmal, allerdings hatten wir die Form f(x)=Ce^{λx} bisher nicht, weshalb ich dir bei i und -i auch nicht ganz folgen kann.
Und mir stellt sich nun die Frage, wie es mit einer Hintereinaderausführung von R und nochmals R aussieht.

Allgemein wäre es dann beim EW bspw.: R(R(f))=λ R(f). In einer weiteren Aufgabe soll ich zu drei dieser Eigenräume bei R°R die geometrische Vielfachheit angeben. Allerdings sehe ich dort keinen großen Unterschied zu meiner ersten Frage. Denn wähle ich f=sin (x), dann ist R(R(sin x) = λ R(sin x), also R(cos x) = λ *cos x, also -sin x = λ cos x. mit  λ =? , so dass dann geometrische Vielfachheit bei einem EV 1 wäre....


Komme mit meiner bisherigen Sachkenntnis da nicht wirklich weiter. Brauche da etwas Unterstützung. ..

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Du bringst hier alles auf derart konfuse Weise durcheinander, dass man gar nicht mehr weiss, was man noch sagen soll. -- Ausser vielleicht Prosit Neujahr! :)

Konkret: Die Eigenwerte/-vektoren von \(R^2=R\circ R\) sind durch die Gleichung \(R^2(f)=\lambda f\), also hier durch \(f''=\lambda f\) bestimmt. Auf der rechten Seite kommt kein \(R\) vor.

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Alles klar. Danke.  Sorry für die Irritation. Ist meine erste Aufgabe zu diesem Thema.

Mir war nicht klar, dass ich auch hier von λf ausgehen muss.

Werde das ganze nachher mal ganz in Ruhe durchrechnen...

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So nun also eine kurze Zusammenfassung:

Es sei X := span{sin, cos, exp, x ↦ 1, x ↦ x}  und
R: X →X, f ↦ f. Als Eigenräume ergeben sich dann:

1. Eig(R,1) = span {exp, x} [für x↦ x],

2. Eig(R, 0) = span {x} [für x↦ 1] Wie mache ich hier den Unterschied zu x bei 1. deutlich?

3. Eig(R, i) = span{cos, i*sin}, wo bei das Skalar bei LK  >= 0 sein muss

4. Eig(R, -i) = span{cos, -i*sin}, wobei das Skalar bei LK >= 0 sein muss

Wobei es wenn f  als f: ℝ→ℝ definiert ist, 3+4 wegfallen, richtig?

Es sei nun A: R°R.

Als Eigenräume ergeben sich dann:

1. Eig(A,1) = span {exp, x} [für x↦ x] => geometrische Vielfachheit: 2

2. Eig(A,-1) = span {cos, sin}, auch möglich mit span{cos,i*sin} => geometrische Vielfachheit: 2

3. Eig(A,0) = span {x} [für x↦ 1] => geometrische Vielfachheit: 1

Das wäre es soweit von mir, bitte um Rückmeldung wo noch Fehler drin sind!?!

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doch noch eine Frage, da mir die Lösung 0 nicht ganz einleuchtet, schliesslich ist 0*x ≠ 1 , oder bringe ich da schon wieder was durcheinander?

Um die Unterscheidung von x↦ x und  x↦ 1 deutlich zu machen, kann ich dann einfach schreiben:
Eig(R,1)={exp, x↦ x} ?!

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Rechne den Sinus über Hyperlinks Materials aus und setze ihn auf x=1 oder wenn du den ein schon zu Beginn reingehen hast kannst du mit x=2 weitermachen.

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Danke, allerdings verstehe ich dein Tipp nicht hundertprozentig. Kannst du ihn bitte vielleicht noch einmal etwas anders formulieren und mir sagen, was ich aus diesem Hinweis genau ziehen kann?
..

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Noch eine Verständnisfrage:

Muss ich bei x ↦ 1 dann von 1 oder x ausgehen, also 0 = λ*1 oder 1 = λ*x ?!?

Vielen Dank schonmal.

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Die Eigenwerte von R sind oben schon alle vier genannt. Jeder Eigenwert hat seinen eigenen eindimensionalen Eigenraum:

Eig(R, 1) = < exp >

Eig(R, 0) = < x ↦ 1 >

Eig(R, i) = < cos + i sin >

Eig(R,-i) = < cos - i sin >

x ↦ x ist kein Eigenvektor, da ( x ↦ x )' = x ↦ 1. Die konstante Funktion kann man nicht als Vielfaches der Identitaet schreiben.

Answer 1

na ja, ein Eigenwert ist sicherlich k=1.

denn R(f)=f=1*f und der zugehörige Eigenraum ist X.

Ob die 5 gegebenen Funktionen eine Basis bilden hängt davon ab, ob sie

lin. unabh. sind. Ich glaube ja.

und wenn es weitere Eigenwerte gibt, dann müssen die ja

für ein f≠0 die Bedingung R(f)=k*f  erfüllen. Das wäre dann

a*sin(x)+b*cos(x)+c*e^x + d*x + e =k*( a*sin(x)+b*cos(x)+c*e^x + d*x + e )

für alle x aus IR.  Vielleicht kannst du da mit c=d=e=0 und den einschlägigen Formeln

von sin und cos was machen.

Answer 2

Die Eigenwerte von R sind oben in einem Kommentar schon alle vier genannt. Jeder Eigenwert hat seinen eigenen eindimensionalen Eigenraum:

Eig(R, 1) = < exp >

Eig(R, 0) = < x ↦ 1 >

Eig(R, i) = < cos + i sin >

Eig(R,-i) = < cos - i sin >

x ↦ x ist kein Eigenvektor, da ( x ↦ x )' = x ↦ 1. Die konstante Funktion kann man nicht als Vielfaches der Identitaet schreiben.

Comments

Weiter:

Eig(R², 0) = < x ↦ 1, x ↦ x >

Eig(R², 1) = < exp >

Eig(R²,-1) = < cos, sin >

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Ok. Danke passt. Habe ich auch so abgegeben. ..

Vielen Dank an alle, die mir bei der Lösung der für mich anfangs doch recht schwierigen Aufgabe geholfen haben.

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Ok. Danke passt. Habe ich auch so abgegeben. ..

Mein Trost ist, dass Du ja auch noch eine schriftliche Pruefung haben wirst, oder?