zunächst kann man mal die ersten drei Momente von \( X \) mit Hilfe der momentenerzeugenden Funktion \( m_X(t) = \frac{\lambda}{\lambda-t} \) bestimmen.
Es ist \( \mathbb{E}[X] = \frac{d}{dt} m_X(t) \mid_{t = 0} = \frac{1}{\lambda} \),
\( \mathbb{E}[X^2] = \frac{d^2}{dt^2} m_X(t) \mid_{t = 0} = \frac{2}{\lambda^2} \),
\( \mathbb{E}[X^3] = \frac{d^3}{dt^3} m_X(t) \mid_{t = 0} = \frac{6}{\lambda^3} \)
oder allgemein \( \mathbb{E}[X^k] = \frac{k!}{\lambda^k} \).
Für die Kovarianz gilt
\( Cov(X, X^2) = \mathbb{E}[(X - \mathbb{E}[X])(X^2 - \mathbb{E}[X^2])] \)
\( = \mathbb{E}[(X - \frac{1}{\lambda}) (X^2 - \frac{2}{\lambda^2})] \)
\( = \mathbb{E}[X^3 - \frac{1}{\lambda}X^2 - \frac{2}{\lambda^2}X + \frac{2}{\lambda^3}] \)
\( = \frac{6}{\lambda^3} - \frac{2}{\lambda^3} - \frac{2}{\lambda^3} + \frac{2}{\lambda^3}\)
\( = \frac{4}{\lambda^3} \).
Es ist weiter
\( Var(X(1-X)) = Var(X - X^2) = Var(X) + Var(-X^2) + 2Cov(X, -X^2) \)
\( = Var(X) + Var(X^2) - 2Cov(X, X^2) \)
\( = \mathbb{E}[X^2] - \mathbb{E}[X]^2 + \mathbb{E}[X^4] - \mathbb{E}[X^2]^2 - \frac{8}{\lambda^3}\)
\( = \frac{2}{\lambda^2} - \frac{1}{\lambda^2} + \frac{24}{\lambda^4} - \frac{4}{\lambda^4} - \frac{8}{\lambda^3} \)
\( = \frac{1}{\lambda^2} + \frac{20}{\lambda^4} - \frac{8}{\lambda^3} \).
Mister