Aloha :)
Oha, man sieht ja vor lauter \(E(\cdots)\) nichts anderes mehr...
Solche Aufgaben sind immer gut, um allgemeine Eigenschaften zu verstehen. Wir zeigen daher zuerst allgemeiner, dass die Kovarianz in ihrer ersten Komponente linear ist. Das folgt direkt aus der Linearität des Erwartungswerts \(\left<\cdots\right>\)
$$\phantom=\operatorname{Cov}(aX+Y|Z)$$$$=\left<\;\red(aX+Y-\left<aX+Y\right>\;\red)\cdot\red(Z-\left<Z\right>\red)\;\right>$$$$=\left<\;aXZ+YZ-\left<aX+Y\right>Z-aX\left<Z\right>+Y\left<Z\right>-\left<aX+Y\right>\left<Z\right>\;\right>$$$$=\left<\;aXZ+YZ-a\left<X\right>Z+\left<Y\right>Z-aX\left<Z\right>+Y\left<Z\right>-a\left<X\right>\left<Z\right>-\left<Y\right>\left<Z\right>\;\right>$$$$=\left<\;a\red(\;XZ-\left<X\right>Z-X\left<Z\right>-\left<X\right>\left<Z\right>\;\red)+\red(\;YZ+\left<Y\right>Z+Y\left<Z\right>-\left<Y\right>\left<Z\right>\;\red)\;\right>$$$$=\left<a\red(X-\left<X\right>\red)\red(Z-\left<Z\right>\red)+\red(Y-\left<Y\right>\red)\red(Z-\left<Z\right>\red)\right>$$$$=a\left<\red(X-\left<X\right>\red)\red(Z-\left<Z\right>\red)\right>+\left<\red(Y-\left<Y\right>\red)\red(Z-\left<Z\right>\red)\right>$$$$=a\,\operatorname{Cov}(X;Z)+\operatorname{Cov}(Y;Z)$$
Wir zeigen nun, dass die Kovarianz kommutativ ist:$$\operatorname{Cov}(X|Y)=\left<\red(X-\left<X\right>\red)\cdot\red(Y-\left<Y\right>\red)\right>=\left<\red(Y-\left<Y\right>\red)\cdot\red(X-\left<X\right>\red)\right>=\operatorname{Cov}(Y|X)$$
Damit ist klar, dass die Kovarianz auch in ihrer zweiten Komponente linear ist (vertausche die beiden Komponenten, wende die gezeigte Linearität der ersten an, vertausche die Komponenten wieder zurück).
Die Kovarianz ist also eine sogenannte Bilinearform, d.h. linear in beiden Komponenten.
Damit bist du quasi fertig:$$\phantom{=}\operatorname{Cov}(X+Y|X-Y)$$$$=\operatorname{Cov}(X|X-Y)+\operatorname{Cov}(Y|X-Y)$$$$=\operatorname{Cov}(X|X)\,\underbrace{-\operatorname{Cov}(X|Y)+\operatorname{Cov}(Y|X)}_{=0}\,-\operatorname{Cov}(Y|Y)$$$$=\operatorname{Var}(X)-\operatorname{Var}(Y)$$
