Taylorpolynom 4.Grades mit Restglied von Lagrange

Question 1

Ich habe folgende Aufgabe bekommen:

Berechnen Sie cos (20°) näherungsweise, indem Sie dafür das Taylorpolynom 4. Grades für f(x)=cos(x) am Entwicklungspunkt x0=0 verwenden.

Jetzt soll ich noch das Restglied bestimmen.

Meine Rechnung sieht bisher so aus:

f(x)=cos(x) = 1

f'(x)=-sin(x) = 0

f''(x)=-cos(x) = -1

f'''(x) =sin(x) = 0

f''''(x)=cos(x) = 1

Taylorpolynom = x⁰/(0!)-x²/(2!)+x⁴/(4!)

Bin jetzt bei der Restgliedabschätzung wie folgt vorgegangen:

Restglied: |f⁽⁵⁾(x)| = |cos(x)| <= 1 = C

R₄(20) = C/(5!)*(20)⁵=20⁵/5! = 26666,67

Bin mir dabei aber sehr unsicher.. Ist das richtig oder hab ich da etwas falsch verstanden?

!

Question 2

Du willst doch nicht etwa in den Trigonometrischen Funktionen hier etwas im Gradmaß einsetzen oder?

Question 3

ach ja das muss 0,2 sein

Question 4

Die 20° sind auch nicht 0,2 sondern pi/9 .

Damit müsste auch was vernünftiges rauskommen.

Question 5

Warum pi/9? Kannst du mir dazu mal eine Beispielrechnung zeigen?

Question 6

360° entspricht 2pi (Kreiumfang)

beides geteilt durch 18

20° entspricht 2pi/18 = pi/9

Question 7

Okay danke, sind die restlichen Rechnungen denn richtig?

Question 8

schau mal dort

und dann hast du ja für die Restgliedabschätzung als Grenze

x^5 / 5 ! = (pi/9)^5 / 5! = 0,000043

und Vergleich der entsprechenden Taschenrechnerwert

T4(pi/9) = x⁰/(0!)-x²/(2!)+x⁴/(4!)für x=pi/9

= 1 - 0,060923 + 0,000619

= 0,939695

und cos(pi/9) =0,939693

zeigt, dass es passt.

Kannst du sogar noch etwas verbessern durch die

Abschätzung sin(pi/9) < pi/9 <3,6/9 = 0,4

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